Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан. 4 класс. Финальный тур. 28 февраля 2015 г. 1. Сумма двух натуральных чисел равна 387. Одно из них оканчивается цифрой 2. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа. 2. Винтик и Шпунтик пошли в магазин за болтиками и гаечками, и потратили там поровну денег. Оказалось, что всех гаечек, что у них были, ровно столько, сколько болтиков у Винтика. Винтик купил 10 гаечек. Сколько болтиков купил Шпунтик, если известно, что цена болтика равняется цене гаечки? 3. Расставьте числа от 1 до 8 в кружочках (каждое по одному разу) так, чтобы ни в каких двух соединённых отрезком кружочках не оказались бы числа, отличающиеся на единицу. 4. Саша, Паша, Миша и Леша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопрос: "Кто это сделал?" Саша, Паша и Миша ответили: "Не я", а Леша: "Не знаю". Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а двое - неправду. Знал ли Леша, кто разбил стекло? Ответ обязательно объясните. 5. Клетчатую фигуру можно по границам клеток разрезать на одинаковые трехклеточные фигуры, а можно - на одинаковые четырёхклеточные. Обязательно ли её можно разрезать на двухклеточные фигуры (доминошки)? 6. Верёвочку сложили пополам, потом ещё раз пополам, а затем все слои верёвочки разрезали в одном месте. Какова могла быть длина верёвочки, если известно, что какие-то три из ПУЧЕННЫХ КУСКОв имели длины 8 метров, 4 метра и 2 метра?

Решение задачи №1

Давай решим задачу про два числа, сумма которых 387.

Пусть первое число оканчивается на 2 и имеет вид \[10x + 2\], где x - число десятков и сотен. Если зачеркнуть цифру 2, то получится второе число - просто x.

Тогда сумма этих чисел равна: \[10x + 2 + x = 387\]

Упростим уравнение: \[11x + 2 = 387\]

Вычтем 2 из обеих частей: \[11x = 385\]

Разделим обе части на 11: \[x = 35\]

Теперь найдем первое число: \[10 * 35 + 2 = 352\]

Второе число равно 35.

Ответ: 352 и 35

Решение задачи №2

В этой задаче Винтик и Шпунтик потратили одинаковое количество денег. Винтик купил 10 гаечек, и гаечек у них было столько же, сколько болтиков у Винтика. Пусть цена одной гаечки и одного болтика одинакова и равна Ц. Тогда:

Винтик потратил: 10 * Ц (за гаечки) + X * Ц (за болтики), где X - количество болтиков, купленных Винтиком.

Шпунтик потратил: 10 * Ц (за болтики) + Y * Ц (за гаечки), где Y - количество гаечек, купленных Шпунтиком.

Так как они потратили одинаково, то: \[10 * Ц + X * Ц = 10 * Ц + Y * Ц\]

Сокращаем на Ц:\[10 + X = 10 + Y\]

Отсюда следует, что X = Y, то есть Винтик и Шпунтик купили одинаковое количество болтиков.

Ответ: Шпунтик купил 10 болтиков.

Решение задачи №4

Рассмотрим, кто мог разбить стекло.

• Саша, Паша и Миша сказали правду, а Леша - неправду.
• Либо, Саша, Паша и Миша сказали неправду, а Леша - правду.

Из условия известно, что двое сказали правду, а двое - неправду. Значит, Леша либо знал, кто разбил, либо не разбивал стекло.

• Если Леша сказал правду, то Саша, Паша и Миша не разбивали стекло. Но тогда получается, что трое сказали правду, а это противоречит условию.

Следовательно, Леша сказал неправду. Получается, что разбил стекло либо Саша, либо Паша, либо Миша, при этом Леша знал, кто разбил.

Ответ: Леша знал, кто разбил стекло.

Решение задачи №5

Если фигуру можно разрезать и на трёхклеточные, и на четырёхклеточные, то это не значит, что её обязательно можно разрезать на двухклеточные фигуры (доминошки).

Ответ: Нет, не обязательно.

Решение задачи №6

Давай разберем, как складывали верёвочку.

Веревочку сложили пополам, а потом еще раз пополам. После разрезания получается несколько кусков. Так как складывали два раза пополам, то всего слоев будет 4.

Предположим, что длина верёвочки равна L. После первого складывания длина будет L/2, а после второго - L/4.

Разрезали все слои в одном месте, значит, получается несколько кусков. Пусть x - длина одного куска. Тогда куски имеют длины x, x, x, x, где четыре куска соответствуют 4 слоям веревочки.

Среди этих кусков есть три известных длины: 8 метров, 4 метра и 2 метра. Значит, x может быть равен 8, 4 или 2. Но т.к. кусков 4, то оставшийся кусок может иметь длину x = 8, 4 или 2.

Всего возможно 3 варианта.

• Вариант 1. x=8, тогда куски 8, 8, 4, 2. \[L/4 = 8\] \[L=32\] метра, это не подходит.
• Вариант 2. x=4, тогда куски 4, 4, 8, 2. \[L/4 = 4\] \[L=16\] метра, это не подходит.
• Вариант 3. x=2, тогда куски 2, 2, 8, 4. \[L/4 = 2\] \[L=8\] метра, это не подходит.
• Следовательно, в условии ошибка.

Следовательно, есть 2 отрезка длиной \(x\) и один отрезок \(2x\). Поскольку было три отрезка 8, 4 и 2 метра, то отрезок 8 метров состоит из 2-х отрезков \(x\), тогда \(x=4\) метра, а весь отрезок \(4x = 16 \) метров. Второй вариант, если 4 метра состоит из 2-х отрезков \(x\), тогда \(x=2\) метра, а весь отрезок \(4x = 8 \) метров. Третий вариант, если 2 метра состоит из 2-х отрезков \(x\), тогда \(x=1\) метра, а весь отрезок \(4x = 4 \) метра, что не подходит. В итоге, получаем 2 варианта для исходного отрезка: 8 и 16 метров. Уточним! Сложили пополам - разрезали, получили 2 одинаковых куска. Еще раз сложили пополам - разрезали, и получили 4 куска. 2 отрезка от разрезания - нечетные. Четные отрезки мы получаем, если делим пополам первоначальную длину. То есть первоначальная длина верёвочки это 2x. Потом ее сложили и разрезали пополам. Если три куска из 4 имеют длины 8, 4 и 2, то четвёртый кусок по длине должен быть одним из трёх! Тогда 8+4+2 + х = 2L, где х может быть 8, 4 или 2. Значит 14+х = 2L. Если х = 8, то L = 11 метров. Если х = 4, то L = 9 метров. Если х = 2, то L = 8 метров.

Ответ: 8, 9 или 11 метров