Математическая задача. Решите уравнение: 2|6700 - x| = |x - 4300|.

Решение:

Данное уравнение является уравнением с модулями. Раскроем модули, используя определение:

• \( |a| = \begin{cases} a, \text{ если } a \ge 0 \\ -a, \text{ если } a < 0 \end{cases} \)

Рассмотрим две возможные ситуации, когда выражения внутри модулей имеют противоположные знаки или одинаковые знаки.

Случай 1: \( 6700 - x = x - 4300 \)

• \( 2x = 6700 + 4300 \)
• \( 2x = 11000 \)
• \( x = 5500 \)

Проверим, удовлетворяет ли полученное значение исходному уравнению:

• \( 2|6700 - 5500| = 2|1200| = 2 · 1200 = 2400 \)
• \( |5500 - 4300| = |1200| = 1200 \)
• \( 2400
  e 1200 \), следовательно, \( x = 5500 \) не является решением.

  Случай 2: \( 6700 - x = -(x - 4300) \)

  • \( 6700 - x = -x + 4300 \)
  • \( 6700 = 4300 \)

  Это равенство неверно, что означает, что данный случай не дает решений.

  Альтернативный подход: возведение в квадрат.

  Возведём обе части уравнения в квадрат:

  • \( (2|6700 - x|)^2 = (|x - 4300|)^2 \)
  • \( 4(6700 - x)^2 = (x - 4300)^2 \)
  • \( 4(6700^2 - 13400x + x^2) = x^2 - 8600x + 4300^2 \)
  • \( 4 · 44890000 - 53600x + 4x^2 = x^2 - 8600x + 18490000 \)
  • \( 179560000 - 53600x + 4x^2 = x^2 - 8600x + 18490000 \)
  • \( 3x^2 - 45000x + 161070000 = 0 \)

  Разделим всё на 3:

  • \( x^2 - 15000x + 53690000 = 0 \)

  Найдем дискриминант:

  • \( D = b^2 - 4ac = (-15000)^2 - 4 · 1 · 53690000 = 225000000 - 214760000 = 10240000 \)
  • \( \sqrt{D} = \sqrt{10240000} = 3200 \)

  Найдем корни:

  • \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15000 + 3200}{2} = \frac{18200}{2} = 9100 \)
  • \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15000 - 3200}{2} = \frac{11800}{2} = 5900 \)

  Проверим полученные решения:

  Проверка для \( x = 9100 \):

  • \( 2|6700 - 9100| = 2|-2400| = 2 · 2400 = 4800 \)
  • \( |9100 - 4300| = |4800| = 4800 \)
  • \( 4800 = 4800 \) — верно.

  Проверка для \( x = 5900 \):

  • \( 2|6700 - 5900| = 2|800| = 2 · 800 = 1600 \)
  • \( |5900 - 4300| = |1600| = 1600 \)
  • \( 1600 = 1600 \) — верно.

  Ответ: x₁ = 9100, x₂ = 5900.