Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2. Задумали трёхзначное число, которое делится на 14 и последняя цифра которого не равна. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Какое число было задумано?

Пошаговое решение:

1. Пусть задуманное число имеет вид \( \overline{abc} \), где a, b, c – цифры, и число делится на 14. Тогда \( \overline{abc} = 100a + 10b + c \).

2. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид \( \overline{cba} = 100c + 10b + a \).

3. По условию задачи, \( \overline{abc} - \overline{cba} = 693 \), то есть \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693 \).

4. Упростим уравнение: \( 99a - 99c = 693 \). Разделим обе части на 99: \( a - c = 7 \).

5. Так как a и c – цифры, и их разность равна 7, возможны следующие варианты: a = 7, c = 0; a = 8, c = 1; a = 9, c = 2.

6. Нам известно, что искомое число делится на 14. Проверим варианты:

   • Если a = 7, c = 0, то число имеет вид \( \overline{7b0} \). Оно должно делиться на 14, то есть на 2 и на 7. Так как последняя цифра 0, то делимость на 2 обеспечена. Проверим делимость на 7.
     Число \( \overline{7b0} = 700 + 10b \). Чтобы оно делилось на 7, \( 10b \) должно делиться на 7. Это возможно, только если b = 7. Тогда число равно 770.
   • Если a = 8, c = 1, то число имеет вид \( \overline{8b1} \). Чтобы оно делилось на 14, оно должно быть четным, но \( \overline{8b1} \) всегда нечетное, поэтому этот случай не подходит.
   • Если a = 9, c = 2, то число имеет вид \( \overline{9b2} \).
     Число \( \overline{9b2} = 900 + 10b + 2 = 902 + 10b \). Чтобы проверить, делится ли \( 9b2 \) на 14, переберем варианты для b:
     Если b=1, то 912/14 = 65.14 - не подходит.
     Если b = 8, то число \(982 / 14 \) = 70.14 - тоже не подходит.

7. Проверим число 770:

   • 770 делится на 14 (770 / 14 = 55).
   • Последняя цифра не равна нулю.
   • 770 - 077 = 693.

Ответ: Задумано число 770.