Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 араллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС чке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, AAB = 6.

Краткое пояснение:

Решение:

• Т.к. AM – биссектриса ∠BAD, то ∠BAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°.
• В параллелограмме ∠BAD = ∠BCD = 60° (как противоположные углы).
• ∠BMA = ∠MAD = 30° (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AM).
• Следовательно, треугольник ABM – равнобедренный (AB = BM).
• Т.к. AB = 6 (по условию), то BM = 6.
• Т.к. AM и DM перпендикулярны, то ∠AMD = 90°.
• В треугольнике AMD: ∠MAD = 30°, ∠AMD = 90°, следовательно, ∠ADM = 180° - (90° + 30°) = 60°.
• Т.к. AD – биссектриса ∠MDA, то ∠CDA = 2 * ∠ADM = 2 * 60° = 120°.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Т.к. ∠CDA = 120°, то ∠BCD = 180° - 120° = 60°.
• В параллелограмме противоположные стороны равны. Т.к. ∠BCD = 60°, то ∠BAD = 60°.
• ∠ABC = ∠CDA = 120°.
• Т.к. BM = 6, то MC = BC - BM = AD - BM (т.к. AD = BC, как противоположные стороны параллелограмма).
• Рассмотрим треугольник CDM: ∠CDM = 60°, ∠CMD = 90° - ∠AMD = 90° - 30° = 60°, следовательно, треугольник CDM – равносторонний (CM = CD = DM).
• Т.к. AB = CD, то CD = 6.
• Следовательно, CM = 6.
• Т.к. BC = BM + MC, то BC = 6 + 6 = 12.
• Периметр параллелограмма ABCD равен: P = 2 * (AB + BC) = 2 * (6 + 12) = 2 * 18 = 36.

Ответ: 36.