Математика, 1 курс Колледжа Контрольное задание по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве» Вариант 1 1. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD. 2. Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки А до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF=8дм. AB=4дм 3. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ=15см. PP1=21.5см, QQ1=33.5см

Задание 2: Расстояние от точки до прямых в квадрате

Дано:

• Квадрат ABCD, AB = 4 дм.


• Прямая BF ⊥ плоскости квадрата.


• BF = 8 дм.

Найти: Расстояния от точки А до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата.

Решение:

1. Расстояние от точки А до прямой AB: Прямые AB и AB совпадают, поэтому расстояние равно 0.


2. Расстояние от точки А до прямой AD: Прямые AD и AD совпадают, поэтому расстояние равно 0.


3. Расстояние от точки А до прямой BC: Прямые AD и BC параллельны, так как ABCD — квадрат. Расстояние между ними равно стороне квадрата AB = 4 дм.


4. Расстояние от точки А до прямой CD: Прямые AB и CD параллельны, так как ABCD — квадрат. Расстояние между ними равно стороне квадрата AD = 4 дм.


5. Расстояние от точки А до прямой AC (диагональ): Прямые AC и AC совпадают, поэтому расстояние равно 0.


6. Расстояние от точки А до прямой BD (диагональ): В квадрате диагонали перпендикулярны. Точка пересечения диагоналей — центр квадрата. Расстояние от вершины А до диагонали BD равно половине длины диагонали AC. Длина диагонали AC = \( AB \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) дм. Следовательно, расстояние от А до BD равно \( \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) дм.

Ответ:

• До прямых AB и AD: 0 дм


• До прямых BC и CD: 4 дм


• До прямой AC: 0 дм


• До прямой BD: \( 2\sqrt{2} \) дм

Задание 3: Расстояние между точками пересечения перпендикуляров

Дано:

• Прямая PQ.


• Точки P и Q на прямой PQ.


• Прямые PP1 ⊥ α, QQ1 ⊥ α.


• Точки P1 и Q1 — точки пересечения с плоскостью α.


• PQ = 15 см.


• PP1 = 21.5 см.


• QQ1 = 33.5 см.

Найти: P1Q1

Решение:

Поскольку прямые PP1 и QQ1 перпендикулярны одной плоскости α, они параллельны между собой.

Рассмотрим проекцию отрезка PQ на плоскость α. Это будет отрезок P1Q1.

Рассмотрим трапецию PQQ1P1. Если P и Q находятся по одну сторону от точки пересечения перпендикуляров с плоскостью, то P1Q1 = |QQ1 - PP1|.

Если P и Q находятся по разные стороны, то P1Q1 = PP1 + QQ1.

В данном случае, так как точки P и Q лежат на одной прямой PQ, и построены перпендикуляры к плоскости, то точки P1 и Q1 также будут расположены таким образом, что P1Q1 будет проекцией PQ. Если P и Q по одну сторону от точки пересечения плоскости с прямой, то P1Q1 = |QQ1 - PP1|.

P1Q1 = \( |33.5 - 21.5| = 12 \) см.

Ответ: 12 см