Математика 5 урок 12:05 - 12:45 Смагина О. Н. Тема урока: Гипербола Домашнее задание на сегодня: 1. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 16 см и 18 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность? 2. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ADB = 67°, ∠ACD = 49°, ∠CBD = 28°. 3. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если боковая сторона этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна 34. Домашнее задание на следующий урок: № 1126, 1131

Решение:

Привет! Давай разберем эти задачки по геометрии.

1. Задача 1: Периметр четырёхугольника

   Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то сумма длин противоположных сторон равна. То есть, a + c = b + d. Это свойство называется теоремой Пито для четырёхугольников.

   В твоей задаче сказано, что две противолежащие стороны равны 16 см и 18 см. Пусть это будут стороны a и c.

   Периметр четырёхугольника (P) — это сумма всех его сторон: P = a + b + c + d.

   Так как a + c = b + d, то мы можем записать периметр как: P = (a + c) + (b + d).

   Поскольку a + c = 16 + 18 = 34 см, то и b + d будет равно 34 см.

   Следовательно, периметр равен: P = 34 + 34 = 68 см.

   Ответ: Периметр четырёхугольника равен 68 см.

2. Задача 2: Углы вписанного четырёхугольника

   У нас есть четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

   Также нам даны углы:

   • \[ \angle ADB = 67^{\circ} \]
   • \[ \angle ACD = 49^{\circ} \]
   • \[ \angle CBD = 28^{\circ} \]

   Шаг 1: Найдем углы при вершине D.

   Углы ai ai\(\angle\) ADB\) и ai \(\angle\) CDB\) опираются на одну и ту же дугу AB. Угол ai \(\angle\) ACB\) тоже опирается на дугу AB, значит ai \(\angle\) ADB = \(\angle\) ACB = 67^{\(\circ\)}\).

   Углы ai \(\angle\) CAD\) и ai \(\angle\) CBD\) опираются на одну и ту же дугу CD. Значит, ai \(\angle\) CAD = \(\angle\) CBD = 28^{\(\circ\)}\).

   Углы ai \(\angle\) BAC\) и ai \(\angle\) BDC\) опираются на дугу BC. Угол ai \(\angle\) BDC = \(\angle\) CAD + \(\angle\) ADB = 28^{\(\circ\)} + 67^{\(\circ\)} = 95^{\(\circ\)}\). Это ошибка, ai \(\angle\) BDC\) не равен сумме ai \(\angle\) CAD\) и ai \(\angle\) ADB\). Угол ai \(\angle\) BDC\) опирается на дугу BC, а ai \(\angle\) BAC\) опирается на ту же дугу. Значит ai \(\angle\) BDC = \(\angle\) BAC\).

   Смотрим на ai \(\angle\) ADB = 67^{\(\circ\)}\). Этот угол опирается на дугу AB. Тогда ai \(\angle\) ACB = 67^{\(\circ\)}\).

   Смотрим на ai \(\angle\) ACD = 49^{\(\circ\)}\). Этот угол опирается на дугу AD. Тогда ai \(\angle\) ABD = 49^{\(\circ\)}\).

   Смотрим на ai \(\angle\) CBD = 28^{\(\circ\)}\). Этот угол опирается на дугу CD. Тогда ai \(\angle\) CAD = 28^{\(\circ\)}\).

   Теперь мы можем найти углы самого четырёхугольника:

   ai \(\angle\) A = \(\angle\) BAC + \(\angle\) CAD\). Нам нужно найти ai \(\angle\) BAC\). ai \(\angle\) BAC\) опирается на дугу BC. Угол ai \(\angle\) BDC\) тоже опирается на дугу BC. Значит ai \(\angle\) BAC = \(\angle\) BDC\).

   ai \(\angle\) B = \(\angle\) ABC = \(\angle\) ABD + \(\angle\) CBD = 49^{\(\circ\)} + 28^{\(\circ\)} = 77^{\(\circ\)}\).

   ai \(\angle\) C = \(\angle\) BCD = \(\angle\) ACB + \(\angle\) ACD = 67^{\(\circ\)} + 49^{\(\circ\)} = 116^{\(\circ\)}\).

   ai \(\angle\) D = \(\angle\) ADC = \(\angle\) ADB + \(\angle\) BDC = 67^{\(\circ\)} + \(\angle\) BDC\).

   Давай найдем ai \(\angle\) BAC\) и ai \(\angle\) BDC\). Они равны. Посмотрим на ai \(\triangle\) ACD\). Сумма углов: ai \(\angle\) CAD + \(\angle\) ACD + \(\angle\) ADC = 180^{\(\circ\)}\). ai 28^{\(\circ\)} + 49^{\(\circ\)} + \(\angle\) ADC = 180^{\(\circ\)}\). ai \(\angle\) ADC = 180^{\(\circ\)} - 77^{\(\circ\)} = 103^{\(\circ\)}\). Значит ai \(\angle\) D = 103^{\(\circ\)}\). Тогда ai \(\angle\) ADB + \(\angle\) BDC = 103^{\(\circ\)}\). ai 67^{\(\circ\)} + \(\angle\) BDC = 103^{\(\circ\)}\). ai \(\angle\) BDC = 103^{\(\circ\)} - 67^{\(\circ\)} = 36^{\(\circ\)}\). Следовательно, ai \(\angle\) BAC = 36^{\(\circ\)}\).

   ai \(\angle\) A = \(\angle\) BAC + \(\angle\) CAD = 36^{\(\circ\)} + 28^{\(\circ\)} = 64^{\(\circ\)}\).

   Проверим: ai \(\angle\) A + \(\angle\) C = 64^{\(\circ\)} + 116^{\(\circ\)} = 180^{\(\circ\)}\). ai \(\angle\) B + \(\angle\) D = 77^{\(\circ\)} + 103^{\(\circ\)} = 180^{\(\circ\)}\). Всё верно!

   Ответ: ai \(\angle\) A = 64^{\(\circ\)}, \(\angle\) B = 77^{\(\circ\)}, \(\angle\) C = 116^{\(\circ\)}, \(\angle\) D = 103^{\(\circ\)}\).

3. Задача 3: Равнобедренный треугольник в окружности

   У нас есть равнобедренный треугольник, вписанный в окружность. Боковая сторона стягивает дугу в 34°. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, они стягивают равные дуги. А основание стягивает оставшуюся дугу.

   Шаг 1: Найдем дугу, стягиваемую основанием.

   Полная окружность — 360°. Две боковые стороны стягивают по 34°, то есть вместе 2 * 34° = 68°.

   Дуга, стягиваемая основанием: 360° - 68° = 292°.

   Шаг 2: Найдем углы треугольника.

   Угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги.

   Угол при вершине (угол между боковыми сторонами) опирается на дугу основания, которая равна 292°. Значит, этот угол равен: 292° / 2 = 146°.

   Углы при основании опираются на дуги, стягиваемые боковыми сторонами. Каждая такая дуга равна 34°.

   Угол при основании равен: 34° / 2 = 17°.

   Так как треугольник равнобедренный, оба угла при основании равны 17°.

   Проверим сумму углов: 146° + 17° + 17° = 180°. Все верно!

   Ответ: Углы равнобедренного треугольника равны 146°, 17°, 17°.

Надеюсь, теперь всё понятно! Если остались вопросы, обращайся!