Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2. Код 70029. Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 36. Какое число было задумано?

Решение:

Обозначим задуманное трёхзначное число как \( \overline{abc} \), где \( a \) - цифра сотен, \( b \) - цифра десятков, \( c \) - цифра единиц.

По условию, число меньше 500, значит \( a \in \{1, 2, 3, 4 \}. \)

Число делится на 45, а значит, делится на 5 и на 9.

Признак делимости на 5: последняя цифра \( c \) должна быть 0 или 5.

Признак делимости на 9: сумма цифр \( a + b + c \) должна делиться на 9.

Условие перестановки цифр: поменяли местами цифры десятков и единиц, получили число \( \overline{acb} \).

Условие вычитания: \( \overline{abc} - \overline{acb} = 36 \).

Распишем разность:

\[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 36 \]

\[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 36 \]

\[ 9b - 9c = 36 \]

Разделим на 9:

\[ b - c = 4 \]

Теперь учтем, что \( c \) может быть 0 или 5.

Случай 1: \( c = 0 \)

Тогда \( b - 0 = 4 \), значит \( b = 4 \).

Сумма цифр \( a + b + c = a + 4 + 0 = a + 4 \). Эта сумма должна делиться на 9.

Так как \( a \in \{1, 2, 3, 4 \}, \) то \( a + 4 \) может быть \( 1+4=5, 2+4=6, 3+4=7, 4+4=8 \). Ни одно из этих значений не делится на 9. Значит, \( c \) не может быть 0.

Случай 2: \( c = 5 \)

Тогда \( b - 5 = 4 \), значит \( b = 9 \).

Сумма цифр \( a + b + c = a + 9 + 5 = a + 14 \). Эта сумма должна делиться на 9.

Так как \( a \in \{1, 2, 3, 4 \}, \) то \( a + 14 \) может быть:

• Если \( a = 1 \), то \( 1 + 14 = 15 \) (не делится на 9)
• Если \( a = 2 \), то \( 2 + 14 = 16 \) (не делится на 9)
• Если \( a = 3 \), то \( 3 + 14 = 17 \) (не делится на 9)
• Если \( a = 4 \), то \( 4 + 14 = 18 \). Число 18 делится на 9.

Следовательно, \( a = 4, b = 9, c = 5 \).

Задуманное число: \( 495 \).

Проверим:

Число 495 меньше 500, делится на 45 (495 / 45 = 11). Сумма цифр 4+9+5 = 18, делится на 9.

Меняем местами десятки и единицы: 459.

Вычитаем: \( 495 - 459 = 36 \).

Все условия выполнены.

Ответ: 495