Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2. Код 70075. Биссектриса внешнего угла CBD треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если LABC = 34°. Решение.

Решение:

1. Обозначения: Пусть биссектриса внешнего угла CBD пересекает сторону AC в точке E.
2. Свойства биссектрисы: Поскольку BE является биссектрисой внешнего угла CBD, то ∑CBE = ∑DBE.
3. Параллельность: По условию, BE || AC.
4. Соответственные углы: Так как BE || AC, то ∑DBE = ∑CAB (как соответственные углы при параллельных прямых BE и AC и секущей AB).
5. Равенство углов: Следовательно, ∑CBE = ∑CAB.
6. Внешний угол треугольника: Внешний угол CBD равен сумме двух других углов треугольника ABC: ∑CBD = ∑CAB + ∑BCA.
7. Связь с ∑ABC: Угол ABC и внешний угол CBD являются смежными, поэтому ∑CBD = 180° - ∑ABC.
8. Подстановка: 180° - ∑ABC = ∑CAB + ∑BCA.
9. Использование ∑ABC = 34°: 180° - 34° = ∑CAB + ∑BCA.
10. Сумма углов треугольника: В треугольнике ABC сумма углов равна 180°: ∑CAB + ∑ABC + ∑BCA = 180°.
11. Подстановка ∑ABC: ∑CAB + 34° + ∑BCA = 180°.
12. Выражение для ∑BCA: ∑BCA = 180° - 34° - ∑CAB.
13. Подстановка в уравнение из п. 8: 180° - 34° = ∑CAB + (180° - 34° - ∑CAB).
14. Упрощение: 146° = ∑CAB + 180° - 34° - ∑CAB.
15. Противоречие: 146° = 146°. Это означает, что равенство ∑CBE = ∑CAB не несет новой информации для нахождения ∑CAB, если не учесть, что BE — биссектриса и параллельность AC.
16. Переосмысление: Так как BE || AC, то ∑CBE = ∑BCA (как накрест лежащие углы при параллельных BE и AC и секущей BC).
17. Равенство углов: Из п. 5 и п. 16 следует, что ∑CAB = ∑BCA.
18. Равнобедренный треугольник: Если ∑CAB = ∑BCA, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.
19. Использование ∑ABC = 34°: В равнобедренном треугольнике ABC, ∑CAB + ∑BCA + ∑ABC = 180°.
20. Подстановка: ∑CAB + ∑CAB + 34° = 180°.
21. Решение: 2 * ∑CAB = 180° - 34°.
22. Вычисление: 2 * ∑CAB = 146°.
23. Финальный расчет: ∑CAB = 146° / 2.

Ответ: ∑CAB = 73°.