Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 70110 Задумали трёхзначное число, которое больше 500 и делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 36. Какое число было задумано?

Краткая запись:

• Искомое число: трехзначное, больше 500, делится на 45.
• Изменение: поменяли местами цифры десятков и единиц.
• Результат вычитания: 36.
• Найти: задуманное число.

Пошаговое решение:

1. Обозначение числа: Пусть искомое трехзначное число будет представлено в виде \( 100a + 10b + c \), где \( a \) — цифра сотен, \( b \) — цифра десятков, \( c \) — цифра единиц.
2. Условия:
   • Число трехзначное: \( a ∈ [1, 9], b ∈ [0, 9], c ∈ [0, 9] \)
   • Число больше 500: \( 100a + 10b + c > 500 \)
   • Число делится на 45. Это значит, что число делится на 5 и на 9. Следовательно, \( c=0 \) или \( c=5 \), и сумма цифр \( a+b+c \) делится на 9.
3. Изменение числа: После перестановки десятков и единиц получилось число \( 100a + 10c + b \).
4. Уравнение: Разница между задуманным и новым числом равна 36: \( (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 36 \).
5. Упрощение уравнения: \( 10b + c - 10c - b = 36 \)
6. \( 9b - 9c = 36 \)
7. \( b - c = 4 \).
8. Анализ условий: Теперь рассмотрим возможные значения \( b \) и \( c \) из условия \( b - c = 4 \) и \( c=0 \) или \( c=5 \):
   • Если \( c = 0 \), то \( b = 4 \). Сумма цифр \( a+4+0 \) должна делиться на 9. Возможные значения \( a \): 5 (т.к. \( 5+4+0 = 9 \)) или 14 (не подходит, т.к. \( a \) — цифра). Если \( a=5 \), число 540. Оно больше 500 и делится на 45 (540 / 45 = 12).
   • Если \( c = 5 \), то \( b = 9 \). Сумма цифр \( a+9+5 = a+14 \) должна делиться на 9. Возможные значения \( a \): 4 (т.к. \( 4+14=18 \)). Если \( a=4 \), число 495. Но оно меньше 500, что не соответствует условию.
9. Проверка: Число 540. \( a=5, b=4, c=0 \). Оно больше 500 и делится на 45. Переставляем десятки и единицы: 504. Вычитаем: \( 540 - 504 = 36 \). Это соответствует условию.

Ответ: 540