Математика. 8 класс. Углублённый уровень. Часть 2. Решите уравнение: (x - 7)⁴ = (x - 8)⁴

Решение:

• Для решения уравнения вида $$a^n = b^n$$, где $$n$$ — четное число, можно воспользоваться свойством, что $$a^n = b^n$$ равносильно $$a = b$$ или $$a = -b$$.
• В нашем случае $$a = (x - 7)$$ и $$b = (x - 8)$$, а $$n = 4$$ (четное число).
• Таким образом, уравнение $$(x - 7)^4 = (x - 8)^4$$ распадается на два случая:

1. Случай 1: $$x - 7 = x - 8$$
• Вычитаем $$x$$ из обеих частей: $$-7 = -8$$. Это равенство неверно, следовательно, этот случай не дает решений.
2. Случай 2: $$x - 7 = -(x - 8)$$
• Раскрываем скобки: $$x - 7 = -x + 8$$.
• Прибавляем $$x$$ к обеим частям: $$2x - 7 = 8$$.
• Прибавляем $$7$$ к обеим частям: $$2x = 15$$.
• Делим на $$2$$: $$x = \frac{15}{2}$$.

Проверка:

• Подставим $$x = \frac{15}{2}$$ в исходное уравнение:
• Левая часть: $$(\frac{15}{2} - 7)^4 = (\frac{15}{2} - \frac{14}{2})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$$.
• Правая часть: $$(\frac{15}{2} - 8)^4 = (\frac{15}{2} - \frac{16}{2})^4 = (-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$$.
• Левая часть равна правой части, следовательно, решение верное.

Финальный ответ:

Ответ: $$x = \frac{15}{2}$$