Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 3.

Пусть AM и DM - биссектрисы углов A и D соответственно. Так как ABCD - параллелограмм, то AB || DC и AD || BC. Угол DAM = угол AMD (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AM). Так как AM - биссектриса угла A, то угол DAM = угол BAM. Следовательно, угол BAM = угол AMD. Треугольник ABM равнобедренный, AB = BM. Аналогично, угол ADM = угол AMD (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей DM). Так как DM - биссектриса угла D, то угол ADM = угол CDM. Следовательно, угол CDM = угол AMD. Треугольник CDM равнобедренный, CD = CM. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD = 3. Тогда BM = 3 и CM = 3. Сторона BC = BM + CM = 3 + 3 = 6. Периметр параллелограмма равен 2 * (AB + BC) = 2 * (3 + 6) = 2 * 9 = 18.