Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Моторная лодка прошла против течения реки 308 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как $$x$$ км/ч, а скорость течения реки — $$v$$ км/ч.
2. Из условия известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч, то есть $$v = 3$$ км/ч.
3. Скорость лодки против течения: $$x - v = x - 3$$ км/ч.
4. Скорость лодки по течению: $$x + v = x + 3$$ км/ч.
5. Расстояние, которое прошла лодка против течения, равно 308 км. Время, затраченное на этот путь: $$t_{ ext{против}} = \frac{308}{x-3}$$ часов.
6. Расстояние, которое лодка прошла по течению (обратный путь), также равно 308 км. Время, затраченное на этот путь: $$t_{ ext{по}} = \frac{308}{x+3}$$ часов.
7. Из условия следует, что на обратный путь лодка затратила на 3 часа меньше: $$t_{ ext{по}} = t_{ ext{против}} - 3$$.
8. Подставим выражения для времени в уравнение: $$\frac{308}{x+3} = \frac{308}{x-3} - 3$$.
9. Приведем уравнение к общему знаменателю: $$308(x-3) = 308(x+3) - 3(x+3)(x-3)$$.
10. Раскроем скобки: $$308x - 924 = 308x + 924 - 3(x^2 - 9)$$.
11. Упростим: $$308x - 924 = 308x + 924 - 3x^2 + 27$$.
12. Перенесем все члены в одну сторону: $$3x^2 - 924 - 924 + 27 = 0$$.
13. $$3x^2 - 1821 = 0$$.
14. $$3x^2 = 1821$$.
15. $$x^2 = \frac{1821}{3} = 607$$.
16. $$x = \sqrt{607}$$.
17. Так как скорость должна быть положительной, $$x \approx 24.64$$ км/ч.
18. Проверим условие:
19. Скорость против течения: $$24.64 - 3 = 21.64$$ км/ч. Время: $$308 / 21.64 \approx 14.23$$ ч.
20. Скорость по течению: $$24.64 + 3 = 27.64$$ км/ч. Время: $$308 / 27.64 \approx 11.14$$ ч.
21. Разница во времени: $$14.23 - 11.14 = 3.09$$ ч, что близко к 3 часам (из-за округления).
22. Окончательный ответ, скорее всего, подразумевает целое число, возможно, в условии была другая цифра. Пересчитаем без округлений, если возможно.
23. $$3x^2 = 1821$$
24. $$x^2 = 607$$.
25. Если условие задачи предполагает целочисленный ответ, возможно, в условии ошибка. Однако, исходя из представленных данных:
26. Скорость лодки в неподвижной воде $$x = \sqrt{607}$$ км/ч.
27. Если же предположить, что $$x^2$$ должно быть полным квадратом, и посмотреть на числа: 308 и 3.
28. Пусть $$t_1$$ - время против течения, $$t_2$$ - время по течению. $$t_1 = t_2 + 3$$.
29. $$rac{308}{x-3} = rac{308}{x+3} + 3$$.
30. $$308(x+3) = 308(x-3) + 3(x-3)(x+3)$$.
31. $$308x + 924 = 308x - 924 + 3(x^2 - 9)$$.
32. $$924 = -924 + 3x^2 - 27$$.
33. $$1848 + 27 = 3x^2$$.
34. $$1875 = 3x^2$$.
35. $$x^2 = 625$$.
36. $$x = \sqrt{625} = 25$$ км/ч.
37. Проверка:
38. Скорость против течения: $$25 - 3 = 22$$ км/ч. Время: $$308 / 22 = 14$$ часов.
39. Скорость по течению: $$25 + 3 = 28$$ км/ч. Время: $$308 / 28 = 11$$ часов.
40. Разница во времени: $$14 - 11 = 3$$ часа. Это соответствует условию.

Ответ: 25 км/ч