Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB=120° и МО=14.

Краткое пояснение:

Дано:

• Окружность с центром O.
• MA и MB — касательные.
• ∑AOB = 120°.
• MO = 14.

Найти:

• Расстояние AB.

Пошаговое решение:

1. Свойства касательных: Так как MA и MB — касательные, проведенные из одной точки M, то MA = MB. Также, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, значит, ∑MAO = ∑MBO = 90°.
2. Рассмотрим треугольник AOB: Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA = OB (радиусы). Угол ∑AOB = 120°.
3. Найдем углы ∑OAB и ∑OBA: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∑OAB = ∑OBA = (180° - 120°) / 2 = 30°.
4. Рассмотрим треугольник MAO: Этот треугольник прямоугольный (∑MAO = 90°). У нас есть гипотенуза MO = 14.
5. Найдем радиус OA: В прямоугольном треугольнике MAO, угол ∑MOA = ∑AOB / 2 = 120° / 2 = 60° (так как MO является биссектрисой ∑AOB).
   Используем тригонометрию: \( OA = MO · \sin(60°) \).
   \( OA = 14 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \).
6. Найдем расстояние AB: В равнобедренном треугольнике AOB, высота, опущенная из O на AB (пусть точка пересечения будет H), будет также медианой и биссектрисой.
   В прямоугольном треугольнике OHA, угол ∑AOH = 60°.
   Используем тригонометрию: \( AH = OA · \sin(60°) \).
   \( AH = 7\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7 · 3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \).
   Так как H — середина AB, то \( AB = 2 · AH \).
   \( AB = 2 · 10.5 = 21 \).

Ответ: 21