Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2. Найдите значение выражения 30-5√6 / 4-√6 . Решение.

Привет! Давай разберемся с этим выражением.

Задание: Найти значение выражения

\[ \sqrt{\frac{30 - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}}} \]

Решение:

1. Преобразуем числитель подкоренного выражения:

   Вынесем общий множитель 5 из числителя:

   \[ \frac{30 - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}} = \frac{5(6 - \sqrt{6})}{4 - \sqrt{6}} \]

2. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю ($$4 + \sqrt{6}$$):

   \[ \frac{5(6 - \sqrt{6})}{4 - \sqrt{6}} \times \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} = \frac{5( (6 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6}) )}{(4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6})} \]

3. Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

   Числитель:

   \[ (6 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6}) = 6 \times 4 + 6 \times \sqrt{6} - \sqrt{6} \times 4 - \sqrt{6} \times \sqrt{6} \]

   \[ = 24 + 6\sqrt{6} - 4\sqrt{6} - 6 \]

   \[ = 18 + 2\sqrt{6} \]

   Знаменатель (разность квадратов):

   \[ (4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6}) = 4^2 - (\sqrt{6})^2 = 16 - 6 = 10 \]

4. Подставим полученные выражения обратно:

   \[ \frac{5(18 + 2\sqrt{6})}{10} = \frac{5 \times 2(9 + \sqrt{6})}{10} = \frac{10(9 + \sqrt{6})}{10} = 9 + \sqrt{6} \]

5. Теперь извлечем квадратный корень из полученного выражения:

   \[ \sqrt{9 + \sqrt{6}} \]

   К сожалению, данное выражение не упрощается дальше без использования приближенных значений.

Ответ: \[ \sqrt{9 + \sqrt{6}} \]