Математика. 8 класс. Вариант 7. Часть 2 Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ=11.

Решение:

Пусть \( \angle BAM = \angle MAD = \alpha \) и \( \angle ADM = \angle MDC = \beta \).

Так как AM — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle BAM = \angle DAM = \alpha \).

Так как DM — биссектриса \( \angle D \), то \( \angle ADM = \angle CDM = \beta \).

В параллелограмме \( ABCD \) стороны \( AD \) и \( BC \) параллельны, а \( AB \) и \( CD \) — секущие.

\( ∠ DAM = ∠ AMB = ∥ \alpha \) как накрест лежащие при параллельных \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AM \).

\( ∠ ADM = ∥ MDC = ∥ DMC \) как накрест лежащие при параллельных \( AD \) и \( BC \) и секущей \( DM \).

Рассмотрим \( ∥ AMB \): \( ∠ BAM = ∠ AMB = ∥ \alpha \). Это означает, что \( ∥ ABM \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AB \). Следовательно, \( BM = AB \).

Рассмотрим \( ∥ DMC \): \( ∠ ADM = ∥ DMC = ∥ \beta \). Это означает, что \( ∥ MDC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( CD \). Следовательно, \( MC = CD \).

В параллелограмме \( ABCD \) противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( AD = BC \).

Сторона \( BC = BM + MC \).

Подставим известные значения: \( AD = AB + CD \).

Так как \( AB = CD \) и \( AD = BC \), то \( BC = AB + AB = 2AB \).

Нам дано, что \( AB = 11 \). Следовательно, \( BC = 2 · 11 = 22 \).

Периметр параллелограмма \( ABCD \) вычисляется по формуле: \( P = 2(AB + BC) \).

\( P = 2(11 + 22) = 2 · 33 = 66 \).

Ответ: 66.