Математика (алгебра для ТМ, ЧПУ, ИС, СР) Личный кабинет / Мои курсы / алг1 / Тема 3. Показательная функция / Лекция 3_2. Показательные уравнения Лекция 3_2. Показательные уравнения Решите уравнение 4^x + 2 * 2^x - 80 = 0 Ваш ответ Отправить Вы прошли 90% лекции 90%

Решение:

Данное уравнение является показательным. Для его решения сначала преобразуем его:

\( 4^x + 2 \cdot 2^x - 80 = 0 \)

Заметим, что \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \).

Введем замену переменной. Пусть \( y = 2^x \). Так как \( 2^x \) всегда больше нуля, то \( y > 0 \).

Уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y - 80 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 \).
2. Найдем корни:
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \).

Вернемся к замене \( y = 2^x \).

Рассмотрим первый корень \( y_1 = 8 \):

\[ 2^x = 8 \]

Так как \( 8 = 2^3 \), то:

\[ 2^x = 2^3 \]

Следовательно, \( x = 3 \).

Рассмотрим второй корень \( y_2 = -10 \):

\[ 2^x = -10 \]

Показательная функция \( 2^x \) всегда принимает положительные значения, поэтому это уравнение не имеет решений.

Проверка: Подставим \( x=3 \) в исходное уравнение:

\[ 4^3 + 2 \cdot 2^3 - 80 = 64 + 2 \cdot 8 - 80 = 64 + 16 - 80 = 80 - 80 = 0 \]

Решение верно.

Ответ: x = 3.