Математика. Часть №2. Не равенство.

Решение:

Нам нужно решить неравенство:

\[ \frac{12}{x^2 - 7x - 8} \le 0 \]

1. Для начала найдём корни знаменателя:



\( x^2 - 7x - 8 = 0 \)




Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \).




Корни знаменателя:




\[ x_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1 \]


\[ x_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8 \]



2. Теперь рассмотрим знак выражения \( \frac{12}{x^2 - 7x - 8} \). Числитель (12) всегда положителен. Значит, знак всего выражения зависит от знака знаменателя \( x^2 - 7x - 8 \).


3. Парабола \( y = x^2 - 7x - 8 \) ветвями вверх, корни — \(-1\) и \(8\).


4. Знаменатель \( x^2 - 7x - 8 \) отрицателен между корнями (то есть при \( -1 < x < 8 \)) и положителен вне корней (при \( x < -1 \) или \( x > 8 \)).


5. Нам нужно, чтобы всё выражение было \( \le 0 \). Так как числитель положителен, знаменатель должен быть отрицательным.


6. Таким образом, \( x^2 - 7x - 8 < 0 \).


7. Решением будет интервал \( (-1; 8) \).

Ответ: \( (-1; 8) \).