Математика/ОГЭ ЕГЭ/ВПР/"Учи математику" https://vk.com/club227211446 Рабочий лист №28 на тему «Условная вероятность. Правило умножения вероятностей» Повторение (устно) 1. Симметричную монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что все пять раз монета выпала одной и той же стороной? 2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков делится: а) на 2; б) на 3; в) на 5. 3. Игральную кость бросают 4 раза. Вероятность какого события больше: «сумма очков делится на 4» или «сумма очков делится на 8»? 4. В некотором случайном опыте известны вероятности двух событий: P(A)=0,7 и P(B)=0,4. Может ли пересечение этих событий иметь нулевую вероятность? Работа по теме урока Пример 1. В семье двое детей. а) Какова вероятность того, что в семье оба ребенка — девочки? б) Известно, что один из них — девочка. Какова вероятность того, что другой ребенок тоже девочка? Пример 2. Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероятности событий: а) «в первый раз выпало менее шести очков, и сумма очков равна 8»; б) «в первый раз выпало менее шести очков», если известно, что сумма выпавших очков равна 8. Пример 3. В коробке 5 красных и 5 синих карандашей. По очереди из коробки извлекают два случайных карандаша. Найдите вероятность того, что сначала появится красный, а затем - синий карандаш. Пример 4. На кассе универсама продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зеленых леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди именно в таком порядке покупают по одному леденцу. Кассир, не глядя, достает леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что: а) Таня и Ваня получат зеленые, а Маня — красный леденец; б) Таня и Маня получат синие, а Ваня — красный; в) Таня получит зеленый, Ваня — красный, а Маня — синий; г) все трое получат красные леденцы. ■ Решение упражнений: 1. При двукратном бросании монеты в первый раз выпала решка. Найдите условную вероятность события: а) «оба раза выпадет решка»; б) «выпадет хотя бы один орёл»; в) «выпадут два орла». 2. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 8. Найдите условную вероятность события: а) «в первый раз выпадет 3 очка»; б) «при одном из бросков выпадет 3 очка»; в) «в первый раз выпадет меньше 5 очков»; г) «во второй раз выпадет меньше 2 очков» 3. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условную вероятность события: а) «в первый раз выпадет 5 очков»; б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»; в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»; г) «во второй раз выпадет меньше, чем 3 очка». 4. Игральную кость бросают 2 раза. В первый раз выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что после второго броска сумма очков окажется: а) равна 9; б) больше, чем 7; в) больше, чем 10; г) меньше, чем 5. 5. В случайном опыте есть события А и В. Найдите вероятность пересечения событий А П В, если известно, что: a) P(B) 0,3 и Р(А|B) = 0,5; 1 6) Р(В) - и Г(А|B) 8 в) Р(В) = 0,72 и Р(А|B) = 0,25; г) P(B) = 0,34 и Р(А|B) 0,2. 6. В некотором городе 7% населения студенты. Из всех студентов 60% учатся в университете. Найдите вероятность того, что случайно выбранный житель этого города является студентом университета. Домашнее задание В коробке 3 синих и 7 красных карандашей. По очереди извлекают 2 карандаша. Найти вероятность того, что сначала появится красный, а затем — синий карандаш.

Решение упражнений:

1. 1. При двукратном бросании монеты в первый раз выпала решка. Найдите условную вероятность события:

   Обозначим Р — решка, О — орёл. Известно, что в первый раз выпала решка (Р). Всего возможных исходов при двух бросках: РР, РО, ОР, ОО. Так как первый бросок — решка, то возможные исходы сужаются до РР и РО.

   а) «оба раза выпадет решка»

   Событие А: оба раза выпадет решка (РР). Событие B: в первый раз выпала решка (РР, РО).

   Условная вероятность P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). В данном случае A ∩ B = РР.

   P(A|B) = P(РР) / P(РР, РО) = (1/4) / (2/4) = 1/2.

   Ответ: 1/2

   б) «выпадет хотя бы один орёл»

   Событие A: выпадет хотя бы один орёл (РО). Событие B: в первый раз выпала решка (РР, РО).

   A ∩ B = РО.

   P(A|B) = P(РО) / P(РР, РО) = (1/4) / (2/4) = 1/2.

   Ответ: 1/2

   в) «выпадут два орла»

   Событие A: выпадут два орла (ОО). Событие B: в первый раз выпала решка (РР, РО).

   A ∩ B = Ø (нет пересечения).

   P(A|B) = P(Ø) / P(РР, РО) = 0 / (2/4) = 0.

   Ответ: 0

2. 2. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 8. Найдите условную вероятность события:

   Возможные комбинации при броске игральной кости, дающие в сумме 8:

   (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Всего 5 исходов.

   а) «в первый раз выпадет 3 очка»

   Событие A: в первый раз выпадет 3 очка (3, 5). Событие B: сумма равна 8 ((2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)).

   A ∩ B = (3, 5).

   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 1 / 5.

   Ответ: 1/5

   б) «при одном из бросков выпадет 3 очка»

   Событие A: при одном из бросков выпадет 3 очка ((3, 5), (5, 3)). Событие B: сумма равна 8 ((2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)).

   A ∩ B = {(3, 5), (5, 3)}.

   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 2 / 5.

   Ответ: 2/5

   в) «в первый раз выпадет меньше 5 очков»

   Событие A: в первый раз выпадет меньше 5 очков ((2, 6), (3, 5), (4, 4)). Событие B: сумма равна 8 ((2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)).

   A ∩ B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4)}.

   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 3 / 5.

   Ответ: 3/5

   г) «во второй раз выпадет меньше 2 очков»

   Событие A: во второй раз выпадет меньше 2 очков (т.е. 1). Таких исходов, где сумма равна 8, нет.

   A ∩ B = Ø.

   P(A|B) = P(Ø) / P(B) = 0 / 5 = 0.

   Ответ: 0

3. 3. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условную вероятность события:

   Возможные комбинации при броске игральной кости, дающие в сумме 9:

   (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3). Всего 4 исхода.

   а) «в первый раз выпадет 5 очков»

   Событие A: в первый раз выпадет 5 очков (5, 4). Событие B: сумма равна 9 ((3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)).

   A ∩ B = (5, 4).

   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 1 / 4.

   Ответ: 1/4

   б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»

   Событие A: при одном из бросков выпадет 4 очка ((4, 5), (5, 4)). Событие B: сумма равна 9 ((3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)).

   A ∩ B = {(4, 5), (5, 4)}.

   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 2 / 4 = 1/2.

   Ответ: 1/2

   в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»

   Событие A: в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй. Из исходов, дающих сумму 9, подходят (3, 6) и (4, 5).

   A ∩ B = {(3, 6), (4, 5)}.

   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 2 / 4 = 1/2.

   Ответ: 1/2

   г) «во второй раз выпадет меньше, чем 3 очка»

   Событие A: во второй раз выпадет меньше 3 очков (т.е. 1 или 2). Из исходов, дающих сумму 9, таких нет.

   A ∩ B = Ø.

   P(A|B) = P(Ø) / P(B) = 0 / 4 = 0.

   Ответ: 0

4. 4. Игральную кость бросают 2 раза. В первый раз выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что после второго броска сумма очков окажется:

   Известно, что в первый раз выпало 3 очка. Обозначим результат первого броска как X=3.

   а) равна 9

   Чтобы сумма была 9, второй бросок (Y) должен быть 9 - 3 = 6. Вероятность выпадения 6 на игральной кости равна 1/6.

   Ответ: 1/6

   б) больше, чем 7

   Сумма X+Y > 7. Так как X=3, то 3+Y > 7, значит Y > 4. Возможные значения Y: 5, 6. Вероятность выпадения 5 или 6 равна 2/6 = 1/3.

   Ответ: 1/3

   в) больше, чем 10

   Сумма X+Y > 10. Так как X=3, то 3+Y > 10, значит Y > 7. На игральной кости нет таких значений.

   Ответ: 0

   г) меньше, чем 5

   Сумма X+Y < 5. Так как X=3, то 3+Y < 5, значит Y < 2. Единственное возможное значение Y: 1. Вероятность выпадения 1 равна 1/6.

   Ответ: 1/6

5. 5. В случайном опыте есть события А и В. Найдите вероятность пересечения событий А ∩ В, если известно, что:

   Формула условной вероятности: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Отсюда P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B).

   a) P(B) = 0,3 и P(A|B) = 0,5;

   P(A ∩ B) = 0,5 * 0,3 = 0,15.

   Ответ: 0,15

   б) P(B) = 1/5 и P(A|B) = 5/8;

   P(A ∩ B) = (5/8) * (1/5) = 5/40 = 1/8.

   Ответ: 1/8

   в) P(B) = 0,72 и P(A|B) = 0,25;

   P(A ∩ B) = 0,25 * 0,72 = 0,18.

   Ответ: 0,18

   г) P(B) = 0,34 и P(A|B) = 0,2.

   P(A ∩ B) = 0,2 * 0,34 = 0,068.

   Ответ: 0,068

6. 6. В некотором городе 7% населения студенты. Из всех студентов 60% учатся в университете. Найдите вероятность того, что случайно выбранный житель этого города является студентом университета.

   Пусть S — событие, что житель города — студент. P(S) = 0,07.

   Пусть U — событие, что студент учится в университете. P(U|S) = 0,60.

   Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный житель города является студентом университета, то есть P(S ∩ U).

   По формуле условной вероятности: P(U|S) = P(S ∩ U) / P(S).

   Отсюда P(S ∩ U) = P(U|S) * P(S) = 0,60 * 0,07 = 0,042.

   Ответ: 0,042

Домашнее задание

В коробке 3 синих и 7 красных карандашей. По очереди извлекают 2 карандаша. Найти вероятность того, что сначала появится красный, а затем — синий карандаш.

Общее количество карандашей: 3 синих + 7 красных = 10 карандашей.

Вероятность вытащить красный карандаш первым: P(К1) = 7/10.

После того, как вытащили один красный карандаш, в коробке осталось 9 карандашей (3 синих и 6 красных).

Вероятность вытащить синий карандаш вторым, при условии, что первый был красный: P(С2|К1) = 3/9 = 1/3.

Вероятность того, что сначала появится красный, а затем синий карандаш, равна произведению этих вероятностей:

P(К1 и С2) = P(К1) * P(С2|К1) = (7/10) * (1/3) = 7/30.

Ответ: 7/30