Математика. Тип вопроса: Один правильный ответ. Вопрос 22 из 25. Найдите корень иррационального уравнения: \( \sqrt{x+1} = x-1 \).

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( \left(\sqrt{x+1}\right)^2 = (x-1)^2 \)
2. Получаем: \( x+1 = x^2 - 2x + 1 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 2x + 1 - x - 1 = 0 \)
4. Упростим: \( x^2 - 3x = 0 \)
5. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x-3) = 0 \)
6. Находим корни: \( x_1 = 0 \) или \( x_2 = 3 \).
7. Проверим корни в исходном уравнении:
• При \( x = 0 \): \( \sqrt{0+1} = 0-1 \) → \( \sqrt{1} = -1 \) → \( 1 = -1 \) (Неверно, \( x=0 \) — посторонний корень).
• При \( x = 3 \): \( \sqrt{3+1} = 3-1 \) → \( \sqrt{4} = 2 \) → \( 2 = 2 \) (Верно).

Ответ: x = 3.