Математика в профессиональной деятельности. Тип вопроса: Один правильный ответ. Вопрос 1 из 25. Точка движется по закону x(t)=t^3-9t^2+24t (где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите минимальное значение скорости на [0;6].

Решение:

Для нахождения минимального значения скорости необходимо сначала найти функцию скорости, продифференцировав функцию положения по времени:

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 9t^2 + 24t) \)

\( v(t) = 3t^2 - 18t + 24 \)

Теперь найдём критические точки, приравняв производную скорости (ускорение) к нулю:

\( a(t) = v'(t) = 6t - 18 \)

\( 6t - 18 = 0 \)

\( 6t = 18 \)

\( t = 3 \)

Проверим значения скорости на концах интервала [0;6] и в критической точке t=3:

• При \( t = 0 \): \( v(0) = 3(0)^2 - 18(0) + 24 = 24 \)
• При \( t = 3 \): \( v(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 3(9) - 54 + 24 = 27 - 54 + 24 = -3 \)
• При \( t = 6 \): \( v(6) = 3(6)^2 - 18(6) + 24 = 3(36) - 108 + 24 = 108 - 108 + 24 = 24 \)

Сравнивая полученные значения, видим, что минимальное значение скорости равно -3.

Ответ: -3