Математика в профессиональной деятельности. Тип вопроса: Один правильный ответ. Вопрос 15 из 25. Найдите наибольшее значение функции y = -2x^2 + 8x + 3 на отрезке [0;5].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = -2x^2 + 8x + 3 \) на отрезке \( [0;5] \) найдём производную функции и точки, в которых она равна нулю.

1. Найдем производную функции: \( y' = -4x + 8 \)
2. Приравняем производную к нулю: \( -4x + 8 = 0 \) \( \implies 4x = 8 \) \( \implies x = 2 \).
3. Так как \( x = 2 \) находится внутри отрезка \( [0;5] \), проверим значения функции в этой точке и на концах отрезка:
• При \( x = 0 \): \( y = -2(0)^2 + 8(0) + 3 = 3 \)
• При \( x = 2 \): \( y = -2(2)^2 + 8(2) + 3 = -2(4) + 16 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11 \)
• При \( x = 5 \): \( y = -2(5)^2 + 8(5) + 3 = -2(25) + 40 + 3 = -50 + 40 + 3 = -7 \)
4. Сравнивая полученные значения \( (3, 11, -7) \), находим наибольшее значение функции, которое равно 11.

Ответ: 11