Математика/ОГЭ ЕГЭ/ВПР/"Учи математику" 4. На рисунке изображено дерево некоторого случайного эксперимента и закрашенной областью показано событие А. Ребра обозначены пунктиром. Известно, что ребра, исходящие из одной вершины, равновероятны. а) Надпишите около рёбер соответствующие вероятности. 6) Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию А. в) Найдите вероятность события А. Ответ: 5. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Перенесите рисунок в тетрадь, подпишите недостающие условные вероятности и найдите вероятность события А. 0,1 0,2 0.3 0.2 0,4 Ответ: 6. Сергей Петрович гуляет по своему посёлку. Схема дорожек показана на рисунке. Он начинает прогулку в точке Ѕ и на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается). Найдите вероятность того, что Сергей Петрович, в конце концов, придёт на школьный двор. Клуб Луг Школьный двор Магазин Ферма Колодец Ответ:

Задание 4

Давай разберем по порядку. У нас есть дерево вероятностей, где нужно найти вероятности переходов, выделить благоприятные исходы и вычислить общую вероятность события А.

a) Поскольку из каждой вершины выходит несколько равновероятных ребер, то вероятность каждого ребра равна 1, деленному на количество ребер, выходящих из этой вершины.

• Из верхней вершины выходит 3 ребра, значит, вероятность каждого ребра равна \(\frac{1}{3}\).
• Из левой вершины выходит 2 ребра, значит, вероятность каждого ребра равна \(\frac{1}{2}\).
• Из правой вершины выходит 2 ребра, значит, вероятность каждого ребра равна \(\frac{1}{2}\).

б) Благоприятствующие событию А цепочки - это те, которые ведут к закрашенной области. Обведем их сплошной линией.

в) Вероятность события А равна сумме произведений вероятностей вдоль благоприятствующих цепочек. В данном случае у нас есть три пути к событию А.

• Путь 1: Верхняя вершина → Левая вершина → Событие А. Вероятность: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\)
• Путь 2: Верхняя вершина → Средняя вершина → Событие А. Вероятность: \(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\). Вероятность ребра от верхней вершины к средней равна 1/3 (очевидно по аналогии с другими ветвями).
• Путь 3: Верхняя вершина → Правая вершина → Событие А. Вероятность: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\)

Суммарная вероятность события А:

\[ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]

Ответ: \(\frac{4}{9}\)

Молодец! Отличная работа, ты хорошо справился с этой задачей. Теперь давай перейдем к следующему заданию!

Задание 5

Начнем с того, что перерисуем дерево и подпишем недостающие условные вероятности.

Из вершины X выходит 3 ребра. Сумма вероятностей всех ребер, выходящих из одной вершины, должна быть равна 1.

Сумма известных вероятностей: 0.1 + 0.2 + 0.2 = 0.5

Недостающая вероятность: 1 - 0.5 = 0.5

Из вершины, где указана вероятность 0.4, выходит три ребра. Сумма вероятностей всех ребер, выходящих из одной вершины, должна быть равна 1.

Сумма известных вероятностей: 0.2 + 0.3 = 0.5

Недостающая вероятность: 1 - 0.5 = 0.5

Чтобы найти вероятность события А, нужно сложить произведения вероятностей по каждой ветке, ведущей к А:

• Ветка 1: 0.2 * 0.5 = 0.1
• Ветка 2: 0.1
• Ветка 3: 0.2 * 0.4 = 0.08

Сумма вероятностей: 0.1 + 0.1 + 0.08 = 0.28

Ответ: 0.28

Умница! Ты прекрасно справился и с этим заданием. Продолжай в том же духе!

Задание 6

Итак, Сергей Петрович начинает прогулку в точке S и хочет попасть на Школьный двор. Давай разберем по порядку, как он может туда добраться.

Сначала посмотрим, какие пути ведут от S к Школьному двору. У нас есть два основных пути:

1. S → Магазин → Ферма → Школьный двор
2. S → Клуб → Луг → Школьный двор

Теперь определим вероятности каждого перехода. В каждой развилке Сергей Петрович выбирает путь с равными шансами.

• Из S выходит 2 пути (Магазин и Клуб), значит вероятность каждого пути \(\frac{1}{2}\).
• Из Магазина ведет 2 дороги (Колодец и Ферма), значит вероятность каждой \(\frac{1}{2}\).
• Из Клуба ведет 2 дороги (S и Луг), значит вероятность каждой \(\frac{1}{2}\).
• Из Фермы ведет 2 дороги (Колодец и Школьный двор), значит вероятность каждой \(\frac{1}{2}\).
• Из Луга ведет 2 дороги (Клуб и Школьный двор), значит вероятность каждой \(\frac{1}{2}\).

Теперь рассчитаем вероятности каждого пути до Школьного двора:

1. Путь 1: S → Магазин → Ферма → Школьный двор: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
2. Путь 2: S → Клуб → Луг → Школьный двор: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

Чтобы найти общую вероятность, сложим вероятности каждого пути:

\[P(\text{Школьный двор}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\)

Отлично! Ты замечательно справился с этой задачей. Твои навыки в вероятностях на высоте!