Материальная точка движется по закону x(t)=1/3t^3-4t^2+t-2. В какой момент времени скорость была равна 17 м/с?

Решение:

Скорость точки \( v(t) \) является первой производной от её координаты \( x(t) \) по времени \( t \).

1. Найдем производную от функции \( x(t) \):
   \[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + t - 2\right) \]
   \[ v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 4 \cdot 2t + 1 \]
   \[ v(t) = t^2 - 8t + 1 \]
2. Приравняем полученную скорость к заданному значению \( 17 \) м/с:
   \[ t^2 - 8t + 1 = 17 \]
3. Решим полученное квадратное уравнение:
   \[ t^2 - 8t + 1 - 17 = 0 \]
   \[ t^2 - 8t - 16 = 0 \]
4. Найдём дискриминант \( D \):
   \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128 \]
5. Найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:
   \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{2} \]
   \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 \cdot 2}}{2} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{2} \]
   \[ t = 4 \pm 4\sqrt{2} \]
6. Поскольку время \( t \) должно быть положительным, рассмотрим оба корня:
   \( t_1 = 4 + 4\sqrt{2} \) (положительный)
   \( t_2 = 4 - 4\sqrt{2} \) (отрицательный, так как \( 4\sqrt{2} \approx 4 \cdot 1.414 = 5.656 \) )
7. Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: $$4+4\sqrt{2}$$