Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3 t^3-5t^2-4t-7 (где х— расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 71 м/с?

Решение:

Скорость материальной точки — это первая производная от её положения по времени. Найдем производную от закона движения \( x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7 \):

\[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7) \]

\[ v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 5 \cdot 2t - 4 \]

\[ v(t) = t^2 - 10t - 4 \]

Теперь приравняем скорость к заданному значению 71 м/с и решим получившееся квадратное уравнение:

\[ t^2 - 10t - 4 = 71 \]

\[ t^2 - 10t - 4 - 71 = 0 \]

\[ t^2 - 10t - 75 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \]

Найдем корни уравнения:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 20}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Так как время не может быть отрицательным, второй корень \( t_2 = -5 \) не имеет физического смысла. Следовательно, искомый момент времени — 15 секунд.

Ответ: 15 с.