Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением вдоль оси Ох. График зависимости ее координаты от времени x=x(t) изображен на рисунке. Определите проекцию ускорения этого тела.

Решение:

На графике зависимости координаты от времени \( x = x(t) \) для прямолинейного движения с постоянным ускорением, скорость является наклоном касательной к графику. Ускорение — это вторая производная от координаты по времени, или первая производная от скорости по времени. Так как ускорение постоянно, скорость изменяется линейно. График представляет собой часть параболы, что соответствует движению с постоянным ускорением.

Скорость в любой момент времени равна тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке. Ускорение — это производная скорости по времени.

В данном случае график представлен как часть параболы. Для постоянного ускорения \( a \) и начальной скорости \( v_0 \), координата \( x \) выражается как \( x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \).

По графику видно, что в момент времени \( t = 0 \) координата \( x = 0 \). При \( t = 2 \) с, \( x = 2 \) м. При \( t = 4 \) с, \( x \) приблизительно \( 8 \) м. При \( t = 6 \) с, \( x \) приблизительно \( 18 \) м. При \( t = 8 \) с, \( x \) приблизительно \( 32 \) м. При \( t = 10 \) с, \( x \) приблизительно \( 50 \) м. При \( t = 12 \) с, \( x \) приблизительно \( 72 \) м.

На графике представлены значения \( x \) по оси Y и \( t \) по оси X. Значения на оси X подписаны 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Значения на оси Y подписаны 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Шкала на оси Y соответствует метрам, а на оси X — секундам.

При \( t = 0 \) с, \( x = 0 \) м. \( x_0 = 0 \).

При \( t = 2 \) с, \( x = 2 \) м. \( 2 = 0 + v_0 \cdot 2 + \frac{1}{2} a \cdot 2^2 \) => \( 2 = 2v_0 + 2a \) => \( 1 = v_0 + a \). (1)

При \( t = 4 \) с, \( x = 8 \) м. \( 8 = 0 + v_0 \cdot 4 + \frac{1}{2} a \cdot 4^2 \) => \( 8 = 4v_0 + 8a \) => \( 1 = v_0 + 2a \). (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( (v_0 + 2a) - (v_0 + a) = 1 - 1 \)

\( a = 0 \) м/с².

Это противоречит виду графика, который явно показывает ускорение.

Давайте пересмотрим значения на графике. Шкала на оси Y соответствует делениям, а не прямым значениям.

Ось Y подписана как 'x', ось X как 't'.

Точки на графике:

• (0, 0)
• (2, 2)
• (4, 8)
• (6, 18)
• (8, 32)
• (10, 50)
• (12, 72)

Проверим, соответствует ли это формуле \( x(t) = \frac{1}{2} a t^2 \) (при \( v_0 = 0 \) и \( x_0 = 0 \))

При \( t = 2 \), \( x = \frac{1}{2} a (2^2) = 2a \). По графику \( x=2 \), значит \( 2a = 2 \) => \( a = 1 \) м/с².

При \( t = 4 \), \( x = \frac{1}{2} a (4^2) = 8a \). По графику \( x=8 \), значит \( 8a = 8 \) => \( a = 1 \) м/с².

При \( t = 6 \), \( x = \frac{1}{2} a (6^2) = 18a \). По графику \( x=18 \), значит \( 18a = 18 \) => \( a = 1 \) м/с².

При \( t = 10 \), \( x = \frac{1}{2} a (10^2) = 50a \). По графику \( x=50 \), значит \( 50a = 50 \) => \( a = 1 \) м/с².

При \( t = 12 \), \( x = \frac{1}{2} a (12^2) = 72a \). По графику \( x=72 \), значит \( 72a = 72 \) => \( a = 1 \) м/с².

Таким образом, ускорение равно \( 1 \) м/с².

Ответ: 1 м/с².