Матрица порядка п имеет ... миноров (п-1)-го порядка

Решение:

Определим количество миноров матрицы порядка \( n \).

Минор матрицы — это определитель некоторой квадратной подматрицы, полученной из исходной путём вычеркивания \( k \) строк и \( k \) столбцов.

В данном случае, мы ищем количество миноров порядка \( (n-1) \) для матрицы порядка \( n \).

Чтобы получить подматрицу порядка \( (n-1) \) из матрицы порядка \( n \), нам нужно выбрать \( n-1 \) строк из \( n \) и \( n-1 \) столбцов из \( n \).

Количество способов выбрать \( n-1 \) строк из \( n \) равно \( \binom{n}{n-1} = \frac{n!}{(n-1)!1!} = n \).

Количество способов выбрать \( n-1 \) столбцов из \( n \) равно \( \binom{n}{n-1} = \frac{n!}{(n-1)!1!} = n \).

Каждая такая комбинация выбора строк и столбцов даёт одну подматрицу порядка \( (n-1) \), определитель которой является минором.

Следовательно, общее количество миноров порядка \( (n-1) \) равно произведению числа способов выбора строк и числа способов выбора столбцов: \( n \times n = n^2 \).

Таким образом, матрица порядка \( n \) имеет \( n^2 \) миноров \( (n-1) \)-го порядка.

Ответ: n²