M B D Часть С Запишите обоснованное решение задач 3-5. 3°. Луч ЅС является биссектрисой угла ASB, а от- резки SA и SB равны. Докажите, что ASAC = ASBC. 4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE - РОК. Докажите, что эти хор- ды равны. 5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите RDS, если RS = PS, DP = DR, ZRDP= - 100°.

3°. Луч SC является биссектрисой угла ASB, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что ΔSAC = ΔSBC.

Для доказательства равенства треугольников ΔSAC и ΔSBC, рассмотрим их:

• SA = SB (по условию).


• ∠ASC = ∠BSC (SC - биссектриса угла ASB).


• SC - общая сторона.

Следовательно, ΔSAC = ΔSBC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: ΔSAC = ΔSBC доказано.

4. В окружности с центром O проведены хорды DE и PK, причем ∠DOE = ∠POK. Докажите, что эти хорды равны.

Рассмотрим окружность с центром O. Дано, что ∠DOE = ∠POK.

Хорда, стягивающая дугу, зависит от центрального угла, опирающегося на эту дугу. Если центральные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, равны. Если дуги равны, то и хорды, стягивающие эти дуги, тоже равны.

Таким образом, DE = PK, так как они стягивают равные дуги, соответствующие равным центральным углам ∠DOE и ∠POK.

Ответ: DE = PK доказано.

5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, ∠RDP = 100°.

Так как RS = PS, треугольник PRS - равнобедренный. Пусть ∠SRP = ∠SPR = α.

Так как DP = DR, треугольник DPR - равнобедренный, и ∠DRP = ∠DPR.

Сумма углов в треугольнике DPR равна 180°, поэтому ∠DRP + ∠DPR + ∠RDP = 180°.

2 * ∠DRP + 100° = 180°

2 * ∠DRP = 80°

∠DRP = 40°

В равнобедренном треугольнике PRS углы при основании равны, ∠PRS = ∠PSR = α.

Сумма углов треугольника PRS равна 180°:

∠PRS + ∠PSR + ∠RPS = 180°

2α + ∠RPS = 180°

∠RPS = 180° - 2α

∠SRP = ∠DRP + ∠DRS

α = 40° + ∠DRS

∠DRS = α - 40°

Поскольку треугольник PRS равнобедренный, углы при основании равны. Пусть ∠PRS = x. Тогда и ∠PSR = x.

∠SPR = 180 - 2x

Угол ∠DRP = (180 - 100) / 2 = 40 градусов (т.к. треугольник DPR равнобедренный)

Угол ∠DRS = x - 40

x = (180 - (x - 40))/2

2x=180-(x-40)

2x=180-x+40

3x=220

x = 220/3 = 73.33333 (бесконечная дробь)

Получается 73.3333 - 40 = 33.33333 (бесконечная дробь)

Так как RS = PS, то ∠RPS = 180 - 2x

∠PRS = 40 + ∠DRS

∠DRS = ∠PRS - 40

Пусть ∠DRS = y. Тогда, так как ∠PRS = ∠PSR, получим, что ∠PSR = y + 40

Рассмотрим треугольник PRS: ∠PRS + ∠PSR + ∠SPR = 180

y + 40 + y + 40 + ∠SPR = 180

∠SPR = 100 - 2y

Рассмотрим треугольник DPR. Он равнобедренный (DP = DR). Значит, ∠DPR = ∠DRP = (180 - 100) / 2 = 40 градусов.

Угол ∠SPR = ∠DPR + ∠DPS => ∠DPS = ∠SPR - 40 = 100 - 2y - 40 = 60 - 2y

Рассмотрим треугольник DPS, у которого известны две стороны (DP и SP, но SP надо выразить как RS, а RS = PS) и угол ∠DPS. Недостаточно данных, чтобы посчитать ∠RDS.

Ответ: недостаточно данных для решения.