mbem: x = -8 1√ 3x²+6x+1 + x = 7 3x²+6x+1 = 7-X 3X +1 = 49-14x+

Прежде чем решать уравнение, необходимо проверить ОДЗ (область допустимых значений) переменной.

Запишем уравнение:

$$ \sqrt{3x^2+6x+1} + x = 7 $$

Перенесем x в правую часть:

$$ \sqrt{3x^2+6x+1} = 7 - x $$

Возведем обе части в квадрат:

$$ 3x^2+6x+1 = (7 - x)^2 $$

$$ 3x^2+6x+1 = 49 - 14x + x^2 $$

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:

$$ 2x^2+20x-48 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ x^2+10x-24 = 0 $$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 $$

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Проверим корни:

1. $$ x = 2 $$

$$ \sqrt{3 \cdot 2^2+6 \cdot 2+1} + 2 = 7 $$

$$ \sqrt{12+12+1} + 2 = 7 $$

$$ \sqrt{25} + 2 = 7 $$

$$ 5 + 2 = 7 $$

$$ 7 = 7 $$

Корень подходит.

2. $$ x = -12 $$

$$ \sqrt{3 \cdot (-12)^2+6 \cdot (-12)+1} + (-12) = 7 $$

$$ \sqrt{3 \cdot 144 - 72+1} -12 = 7 $$

$$ \sqrt{432 - 72 + 1} - 12 = 7 $$

$$ \sqrt{361} - 12 = 7 $$

$$ 19 - 12 = 7 $$

$$ 7 = 7 $$

Корень подходит.

Ответ: x = 2; x = -12.