18 MC - P, α + β = 90°.

Рассмотрим треугольник АМВ. Из условия задачи α + β = 90°, следовательно, угол АМВ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°. Значит, треугольник АМВ - прямоугольный.

Пусть МС - высота, проведенная из вершины прямого угла М к гипотенузе АВ.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза данной высотой, то есть:

MC = √(AC ∙ CB)

По условию задачи АМ = 15, МВ = 20. Рассмотрим прямоугольные треугольники АМС и ВМС.

По теореме Пифагора:

АС = √(АМ² - МС²) = √(15² - x²)

ВС = √(ВМ² - МС²) = √(20² - x²)

Тогда АВ = АС + ВС

АВ = √(АМ² + ВМ²) = √(15² + 20²) = √(225 + 400) = √625 = 25

Получаем уравнение:

√(15² - x²) + √(20² - x²) = 25

√(225 - x²) + √(400 - x²) = 25

Выразим √(400 - x²):

√(400 - x²) = 25 - √(225 - x²)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

400 - x² = 625 - 50√(225 - x²) + 225 - x²

400 - x² - 625 + x² - 225 + x² = -50√(225 - x²)

x² - 450 = -50√(225 - x²)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

x⁴ - 900x² + 202500 = 2500(225 - x²)

x⁴ - 900x² + 202500 = 562500 - 2500x²

x⁴ + 1600x² - 360000 = 0

Пусть t = x², тогда уравнение примет вид:

t² + 1600t - 360000 = 0

Решим квадратное уравнение:

t = (-1600 ± √(1600² - 4 ∙ 1 ∙ (-360000))) / 2

t = (-1600 ± √(2560000 + 1440000)) / 2

t = (-1600 ± √4000000) / 2

t = (-1600 ± 2000) / 2

t₁ = (-1600 + 2000) / 2 = 400 / 2 = 200

t₂ = (-1600 - 2000) / 2 = -3600 / 2 = -1800 (не подходит, так как x² не может быть отрицательным)

Тогда x² = 200

x = √200 = √(100 ∙ 2) = 10√2

Ответ: 10√2