Медиана $$BM$$ треугольника $$ABC$$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $$BC$$ в её середине. Найдите длину стороны $$AC$$, если радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$ равен 4,5.

Пусть $$O$$ — середина $$BC$$. Тогда $$BO = OC$$. Т.к. $$BM$$ - медиана треугольника $$ABC$$, то $$AM = MC$$.

$$BM$$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $$BC$$ в её середине, то есть в точке $$O$$.

Т.к. $$BM$$ - диаметр окружности, то угол $$BOM = 90^{\circ}$$. Значит, $$BM \perp BC$$. Т.е. медиана $$BM$$ является высотой треугольника $$ABC$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ - равнобедренный, $$AB = BC$$.

Т.к. $$BO = OC$$, то $$BO = \frac{1}{2}BC$$. Т.к. $$BC = AB$$, то $$BO = \frac{1}{2}AB$$.

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Т.к. $$BM \perp BC$$, то угол $$MBC = 90^{\circ}$$. Следовательно, треугольник $$ABM$$ - прямоугольный.

Т.к. радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$ равен 4,5, то $$R = 4.5$$. По теореме синусов $$\frac{AC}{\sin B} = 2R$$. Т.к. $$B = 90^{\circ}$$, то $$\sin B = 1$$. Следовательно, $$AC = 2R = 2 \cdot 4.5 = 9$$.

Ответ: $$AC = 9$$