Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна одному из его катетов. Найдите острые углы этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Пусть медиана CM проведена к гипотенузе AB, и CM = AC. 1. **Свойство медианы прямоугольного треугольника:** Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, CM = AM = MB = \(\frac{1}{2}\)AB. 2. **Равнобедренный треугольник:** Так как CM = AC, треугольник AMC равнобедренный, и углы при его основании равны: \(\angle\)MAC = \(\angle\)AMC. 3. **Обозначение углов:** Пусть \(\angle\)BAC = \(x\). Тогда \(\angle\)AMC = \(x\). 4. **Внешний угол треугольника:** \(\angle\)BMC - внешний угол треугольника AMC, следовательно, \(\angle\)BMC = \(\angle\)MAC + \(\angle\)AMC = \(x + x = 2x\). 5. **Равнобедренный треугольник:** Треугольник BMC также равнобедренный (так как CM = MB), поэтому \(\angle\)MBC = \(\angle\)BMC = \(2x\). 6. **Сумма углов треугольника:** Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусам. Значит, \(\angle\)BAC + \(\angle\)ABC + \(\angle\)BCA = 180. Подставляем известные значения: \(x + 2x + 90 = 180\). 7. **Решение уравнения:** Упрощаем уравнение: \(3x = 180 - 90\), \(3x = 90\), \(x = 30\). 8. **Находим углы:** - \(\angle\)BAC = x = 30 градусов. - \(\angle\)ABC = 2x = 2 * 30 = 60 градусов. **Ответ:** Острые углы данного прямоугольного треугольника равны 30 и 60 градусов.