11. Медиана прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла С, равна √10. Найдите площадь треугольника ABC, если tg∠B = 2.

Обозначим медиану, проведённую из вершины C, как CM. Так как CM = √10, то гипотенуза AB = 2 * CM = 2√10. Обозначим катет AC как x. Тогда tg∠B = AC / BC = 2, откуда BC = AC / 2 = x / 2. По теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$x^2 + (x/2)^2 = (2\sqrt{10})^2$$ $$x^2 + x^2/4 = 40$$ $$(4x^2 + x^2) / 4 = 40$$ $$5x^2 = 160$$ $$x^2 = 32$$ $$x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ Таким образом, AC = $$4\sqrt{2}$$, BC = $$2\sqrt{2}$$. Площадь треугольника ABC равна: $$S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 4\sqrt{2} * 2\sqrt{2} = 4 * 2 = 8$$ Ответ: 8