15. Медиана равностороннего треугольника равна \(12\sqrt{3}\). Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают. Медиана делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Медиана является также высотой, поэтому она делит сторону пополам. Обозначим сторону равностороннего треугольника как \(a\). Тогда половина стороны равна \(\frac{a}{2}\). В прямоугольном треугольнике, образованном медианой, половиной стороны и стороной равностороннего треугольника, медиана является катетом, сторона - гипотенузой, а половина стороны - другим катетом. По теореме Пифагора: \(a^2 = (\frac{a}{2})^2 + (12\sqrt{3})^2\). Решаем уравнение: \(a^2 = \frac{a^2}{4} + 144 \cdot 3\) \(a^2 - \frac{a^2}{4} = 432\) \(\frac{3a^2}{4} = 432\) \(3a^2 = 1728\) \(a^2 = 576\) \(a = \sqrt{576}\) \(a = 24\) Ответ: 24