Медиана СЕ треугольника MNC равна отрезкам, на которые делит сторону MN. Как выражается величина β угла треугольника при вершине N через величину γ угла при вершине M?

Решение:

Рассмотрим треугольник MNC. Дано, что медиана CE равна отрезкам, на которые она делит сторону MN. Это значит, что $$CE = NE = ME$$.

Рассмотрим треугольник CNE. Так как $$CE = NE$$, то он равнобедренный. Углы при основании равны: $$\angle ECN = \angle ENC = \beta$$.

Рассмотрим треугольник CME. Так как $$CE = ME$$, то он равнобедренный. Углы при основании равны: $$\angle ECM = \angle EMC = \gamma$$.

Угол C треугольника MNC равен сумме углов $$\angle ECN$$ и $$\angle ECM$$: $$\angle C = \angle ECN + \angle ECM = \beta + \gamma$$.

Сумма углов в треугольнике MNC равна 180°: $$\angle N + \angle M + \angle C = 180°$$.

Подставим известные значения: $$\beta + \gamma + (\beta + \gamma) = 180°$$.

Упростим уравнение: $$2\beta + 2\gamma = 180°$$.

Разделим обе части на 2: $$\beta + \gamma = 90°$$.

Выразим $$\beta$$ через $$\gamma$$: $$\beta = 90° - \gamma$$.

Перепроверим варианты ответа.

Вариант $$\beta = 90° - \gamma$$ соответствует полученному нами результату.

Ответ: $$\beta = 90° - \gamma$$.