5. Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите сторону АС, если АВ = 7 см.

Пусть точка O – точка пересечения медианы BM и биссектрисы AD.

Рассмотрим треугольник ABO: угол AOB = 90 градусов, следовательно, треугольник ABO – прямоугольный.

AO – биссектриса и высота, значит, треугольник ABO – равнобедренный, и AB = BO.

Так как BM – медиана, то AM = MC, следовательно, AC = 2AM.

Рассмотрим треугольники AMO и BMO: MO – общая сторона, угол AOM = углу BOM = 90 градусов, AO = BO, следовательно, треугольники AMO и BMO равны по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит, AM = BM.

Так как AM = BM и AC = 2AM, то AC = 2AB = 2 × 7 = 14 см.

Ответ: AC = 14 см.