Медиана, высота и биссектриса треугольника

Рассмотрим задачи, представленные на изображении. Задача 1 (Верхний треугольник): Дано: \(\triangle KMN\), \(PM = PE\), \(PH\) - биссектриса \(\angle MPE\). Доказать: \(HP\) - биссектриса \(\triangle KMN\). Доказательство: 1. Так как \(PH\) - биссектриса \(\angle MPE\), то \(\angle MPH = \angle EPH\). 2. Рассмотрим \(\triangle MPH\) и \(\triangle EPH\). * \(PM = PE\) (дано). * \(PH\) - общая сторона. * \(\angle MPH = \angle EPH\) (из п. 1). 3. Следовательно, \(\triangle MPH = \triangle EPH\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует, что \(MH = EH\). 5. Так как \(PM = PE\) и \(MH = EH\), то точка \(H\) равноудалена от сторон угла \(\angle KMN\). 6. Следовательно, \(HP\) - биссектриса \(\angle KMN\), что и требовалось доказать. Задача 2 (Нижний треугольник): Дано: \(\triangle MNP\), \(NE\) - медиана и высота \(\triangle MNP\). Доказать: a) \(MN = NP\), б) \(NE\) - биссектриса \(\triangle MNP\). Доказательство: a) Доказательство \(MN = NP\): 1. Так как \(NE\) - высота \(\triangle MNP\), то \(\angle MEN = \angle PEN = 90^\circ\). 2. Так как \(NE\) - медиана \(\triangle MNP\), то \(ME = EP\). 3. Рассмотрим \(\triangle MEN\) и \(\triangle PEN\): * \(NE\) - общая сторона. * \(ME = EP\) (из п. 2). * \(\angle MEN = \angle PEN = 90^\circ\) (из п. 1). 4. Следовательно, \(\triangle MEN = \triangle PEN\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5. Из равенства треугольников следует, что \(MN = NP\), что и требовалось доказать. б) Доказательство, что \(NE\) - биссектриса \(\triangle MNP\): 1. Так как \(\triangle MEN = \triangle PEN\) (доказано в пункте а)), то \(\angle MNE = \angle PNE\). 2. \(NE\) делит \(\angle MNP\) на два равных угла. 3. Следовательно, \(NE\) - биссектриса \(\triangle MNP\), что и требовалось доказать.