Медианы \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\). Найдите величину угла \(BAC\), если известно, что \(\angle ACB=57^\circ\) и \(AC=3BM\). \(\angle BAC=\ ?\)

Центр тяжести делит медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины, поэтому \(BM=\frac{2}{3}BB_1\). Из условия \(AC=3BM\), следовательно, \(AC=2BB_1\).

Обозначим \(AC=b\), \(BC=a\), \(AB=c\). Формула медианы к стороне \(BC\): \(BB_1^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\). Так как \(b=2BB_1\), получаем:

\(b^2=4BB_1^2=2a^2+2c^2-b^2\), откуда \(b^2=a^2+c^2\).

По обратной теореме Пифагора угол напротив стороны \(AC=b\), то есть \(\angle ABC\), прямой. Тогда сумма углов треугольника даёт \(\angle BAC=180^\circ-90^\circ-57^\circ=33^\circ\).

Ответ: \(33^\circ\).