6. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Прямая, параллельная АС, проходит через точку О и пересекает сторо- ны АВ И ВС в точках М и Р. Найдите длину МР, если сторона АС равна 36 см. 7. Через точку Р на стороне ВС треугольника АВС проведены пря- мые, параллельные сторонам АВ и АС и пересекающие эти сто- роны соответственно в точках К и М. Известно, что ВР : PC = = 2: 3, АК = 9 и КР = 8. Найдите длины сторон треугольника АВС, если его периметр равен 47. 8. Точка Р лежит на диагонали BD параллелограмма ABCD так, что ВР: PD = 1:4. В каком соотношении прямая АР делит сто- рону ВС?

Решение задачи 6:

Давай решим задачу 6.

Обозначим медианы треугольника как AA', BB', CC', где O - точка их пересечения. Поскольку прямая MP параллельна AC и проходит через точку O, которая является точкой пересечения медиан, можно использовать свойство медиан треугольника.

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, начиная от вершины. Следовательно, BO:OB' = 2:1.

Так как MP || AC, то треугольники MBO и ABO подобны, а также треугольники PBO и CBO подобны. Из подобия треугольников следует, что:

BM/BA = BP/BC = BO/BB' = 2/3

Таким образом, M и P - середины сторон AB и BC соответственно, и MP является средней линией треугольника ABC.

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине этой стороны. Значит,

MP = 1/2 * AC = 1/2 * 36 = 18 см.

Ответ: 18 см

Неплохо! Продолжай в том же духе!

Решение задачи 7:

Давай решим задачу 7.

Пусть BC = 5x, тогда BP = 2x и PC = 3x. Так как KP || AB и MP || AC, то AMKP - параллелограмм, и AK = MP = 9, KM = AP = 8. Обозначим AB = y и AC = z.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как KP || AB, то треугольники KPC и ABC подобны. Значит, KP/AB = PC/BC, или 8/y = 3x/5x = 3/5. Отсюда y = 8 * 5 / 3 = 40/3.

Аналогично, так как MP || AC, то треугольники BPM и BAC подобны. Значит, MP/AC = BP/BC, или 9/z = 2x/5x = 2/5. Отсюда z = 9 * 5 / 2 = 45/2.

Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = 47.

Тогда 5x + 40/3 + 45/2 = 47.

Умножим все на 6, чтобы избавиться от дробей:

30x + 80 + 135 = 282

30x = 282 - 80 - 135

30x = 67

x = 67/30

Теперь найдем стороны треугольника:

BC = 5x = 5 * (67/30) = 67/6

AB = 40/3

AC = 45/2

Итак, BC = 67/6, AB = 40/3, AC = 45/2.

Ответ: BC = 67/6, AB = 40/3, AC = 45/2

Отлично! Так держать!

Решение задачи 8:

Давай решим задачу 8.

Пусть BP = x, тогда PD = 4x. Значит, BD = BP + PD = x + 4x = 5x.

Так как ABCD - параллелограмм, то BD - его диагональ, и точка P лежит на этой диагонали. Пусть AP пересекает BC в точке E. Нужно найти отношение BE/EC.

Проведём прямую DK параллельно AP до пересечения с прямой BC в точке K. Рассмотрим треугольник BAP и прямую DK, параллельную AP. По теореме Фалеса, BD/DP = BK/KE.

Так как BD = 5x и DP = 4x, то BD/DP = 5x/4x = 5/4. Следовательно, BK/KE = 5/4.

Рассмотрим треугольник CDK и прямую AP, параллельную DK. По теореме Фалеса, CE/EK = AP/DK.

Так как AP || DK, то треугольники BAP и BDK подобны. Значит, AP/DK = BP/BD = x/5x = 1/5.

Тогда CE/EK = 1/5, и EK = 5CE.

Теперь выразим BK через BE и CE:

BK = BE + EK = BE + 5CE

Также BK = BE + EC = BE + EC

Из отношения BK/KE = 5/4, получаем BK = (5/4)KE. Так как KE = 5CE, то BK = (5/4) * 5CE = 25CE/4.

Приравниваем два выражения для BK:

BE + EC = 25CE/4

BE = 25CE/4 - EC

BE = 21CE/4

Тогда BE/CE = 21/4

Ответ: 21:4

Замечательно! Ты на верном пути!