Медианы треугольника имеют длину 4 и 5 и пересекаются под углом 30°. Найдите площадь треугольника. S =

Медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим медианы как $$m_1 = 4$$ и $$m_2 = 5$$. Угол между ними $$\alpha = 30^\circ$$.

Площадь треугольника, образованного медианами, равна $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}m_1 \cdot \frac{2}{3}m_2 \cdot sin(\alpha)$$.

Площадь исходного треугольника $$S = 3S_{\triangle} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}m_1 \cdot \frac{2}{3}m_2 \cdot sin(\alpha) = \frac{2}{3} m_1 m_2 sin(\alpha)$$.

Подставим значения: $$S = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot sin(30^\circ) = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{20}{3}$$.

$$S = \frac{20}{3}$$.

Ответ: $$\frac{20}{3}$$