Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 18 см. O — точка пересечения диагоналей. Угол AOD = 120°. Определите длину диагонали. Варианты: а) 20 см; б) 9 см; в) 18 см; г) 36 см.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. В треугольнике AOD углы при вершинах A и D равны, поэтому при \(\angle AOD=120^\circ\) они равны по \(30^\circ\). Треугольник AOD равнобедренный, а меньшая сторона прямоугольника \(AD=18\) см — его основание.

Пусть диагональ прямоугольника равна \(d\). Тогда \(AO=DO=\frac d2\). В треугольнике AOD:

\(AD=2\cdot AO\sin 60^\circ=d\cdot\frac{\sqrt3}{2}\), откуда \(d=\frac{36}{\sqrt3}=12\sqrt3\) см.

Следовательно, точного варианта среди предложенных нет: длина диагонали равна \(12\sqrt3\) см (примерно \(20.8\) см). Если требуется выбрать ближайший вариант, это 20 см.