меньше его стороны. от которых до всех вершин этого треугольника 19.2 ★☆☆ Внутри квадратного участка, огороженного забором, пасётся коза. Её привязали верёвками к трём столбам, стоящим в углах участка. Длина каждой верёвки равна стороне забора. Коза съеда- ет всю траву там, куда может дотянуться. На ка- кой части участка коза съест траву (рис. 19.42)? 19.3 ★☆☆ Даны две точки А и В. Закрасьте на пло- скости все точки С так, чтобы в треугольнике АВС сторона АВ была наибольшей (рис. 19.43). 19.4 ★☆☆ Даны две точки А и В. Закрасьте на пло- скости все точки С так, чтобы в треугольнике АВС сторона АВ была наименьшей (рис. 19.44). 19.5 Дана прямая и две точки А и В по одну сторону от неё (рис. 19.45). Может ли на этой пря- мой быть больше одной точки М такой, что AM = BM? 19.6 Дан треугольник АВС. Где могут находить- ся все такие точки О, что АО ВО СО? Сколь- ко может быть таких точек (рис. 19.46)? 19.7 ★☆☆ В четырёхугольнике ABCD нет параллель- ных сторон. Где находятся такие точки М, что AM BM, CM DM? Сколько может быть таких точек (рис. 19.47)? 19.8★☆☆ Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что эта точка принадлежит также и биссектрисе угла В (рис. 19.48). 19.9 ★★☆ В шестиугольнике нет параллельных сто- рон. Сколько существует точек, которые равноуда- лены от трёх его данных несмежных сторон (рис. 19.49)?

Краткое пояснение:

• 19.2 Коза съест траву в тех областях участка, которые находятся в пределах досягаемости верёвок, привязанных к углам. Поскольку длина каждой верёвки равна стороне забора, коза сможет съесть траву в пределах дуг, проведённых из каждого угла участка радиусом, равным стороне забора.
• 19.3 Чтобы сторона АВ была наибольшей в треугольнике АВС, точка С должна находиться в области, где угол АСВ меньше 90 градусов. Эта область вне круга, построенного на АВ как на диаметре.
• 19.4 Чтобы сторона АВ была наименьшей в треугольнике АВС, точка С должна находиться в области, где угол АСВ больше 90 градусов. Эта область внутри круга, построенного на АВ как на диаметре.
• 19.5 Если АМ = ВМ, то точка М должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Если прямая, на которой лежит точка М, не параллельна этому серединному перпендикуляру, то такая точка М будет единственной.
• 19.6 Точка О, для которой АО = ВО = СО, является центром описанной окружности треугольника АВС. Такая точка единственная.
• 19.7 Точки М, для которых АМ = ВМ и СМ = DM, лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам АВ и CD соответственно. Пересечение этих серединных перпендикуляров и будет искомой точкой.
• 19.8 Это утверждение верно, поскольку биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности треугольника.
• 19.9 Точки, равноудалённые от трёх несмежных сторон шестиугольника, должны лежать на пересечении биссектрис углов, образованных этими сторонами. Количество таких точек зависит от конкретной формы шестиугольника.