Меньшее основание трапеции: Большее основание трапеции:

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Так как в трапецию ABCD вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: \(AB + CD = BC + AD\).
• Боковые стороны делятся точкой касания на отрезки 10 и 17, значит, боковая сторона равна \(10 + 17 = 27\).
• Трапеция равнобедренная, поэтому \(AB = CD = 27\).
• Подставим в первое уравнение: \(27 + 27 = BC + AD\), \(BC + AD = 54\).
• Пусть меньшее основание равно \(x\), тогда большее равно \(54 - x\).
• Т.к. в равнобедренной трапеции, описанной около окружности, высота является средней пропорциональной между отрезками, на которые боковая сторона делится точкой касания окружности, то высота равна \(h = \sqrt{10 \cdot 17} = \sqrt{170}\).
• Также высота равна \(h = \sqrt{AB^2 - (\frac{AD - BC}{2})^2}\).
• Получаем \(\sqrt{170} = \sqrt{27^2 - (\frac{54 - x - x}{2})^2}\)
• Возводим обе части в квадрат: \(170 = 729 - (\frac{54 - 2x}{2})^2\)
• \((\frac{54 - 2x}{2})^2 = 729 - 170\)
• \((\frac{54 - 2x}{2})^2 = 559\)
• \(\frac{54 - 2x}{2} = \sqrt{559}\)
• \(54 - 2x = 2\sqrt{559}\)
• \(2x = 54 - 2\sqrt{559}\)
• \(x = 27 - \sqrt{559}\)
• Это не подходит, т.к. корень из 559 больше 27.
• В этой задаче равны отрезки основания, а не боковой стороны. В равнобедренной трапеции отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, верхнее основание равно \(10 + 10 = 20\), нижнее \(17 + 17 = 34\).

Ответ: Меньшее основание трапеции: 20, Большее основание трапеции: 34.