Металлический предмет кубической формы со стороной 20 см плавает в резервуаре с ртутью. В резервуар налили жидкость таким образом, что её верхний уровень совпал с верхней горизонтальной поверхностью предмета. Найди высоту столба налитой в резервуар жидкости. Справочные данные: ускорение свободного падения $$g = 10 \ м/с^2$$, плотность металла 2700 кг/м³, плотность ртути 13600 кг/м³, плотность жидкости 1030 кг/м³. (Ответ округли до десятых.)

Задача на закон Архимеда и равновесие сил. 1. Понимание условия: - Имеется металлический куб, плавающий в ртути. - Сверху наливают жидкость до уровня верхней грани куба. - Нужно найти высоту столба этой жидкости. 2. Обозначения: - $$a$$ = 20 см = 0.2 м (сторона куба) - $$\rho_м$$ = 2700 кг/м³ (плотность металла) - $$\rho_р$$ = 13600 кг/м³ (плотность ртути) - $$\rho_ж$$ = 1030 кг/м³ (плотность жидкости) - $$g$$ = 10 м/с² (ускорение свободного падения) - $$h$$ - высота столба жидкости (то, что нужно найти) 3. Закон Архимеда и условие плавания: - Вес куба равен сумме сил Архимеда от ртути и жидкости. - Вес куба: $$P = m_м g = \rho_м V g = \rho_м a^3 g$$ - Сила Архимеда от ртути: $$F_{Арх, р} = \rho_р V_{погр, р} g = \rho_р a^2 (a - h) g$$, где $$(a - h)$$ - высота погруженной в ртуть части куба. - Сила Архимеда от жидкости: $$F_{Арх, ж} = \rho_ж V_{погр, ж} g = \rho_ж a^2 h g$$, где $$h$$ - высота столба жидкости (и высота погруженной в жидкость части куба). 4. Уравнение равновесия: $$P = F_{Арх, р} + F_{Арх, ж}$$ $$\rho_м a^3 g = \rho_р a^2 (a - h) g + \rho_ж a^2 h g$$ Разделим обе части на $$a^2 g$$: $$\rho_м a = \rho_р (a - h) + \rho_ж h$$ 5. Выразим $$h$$ и решим: $$\rho_м a = \rho_р a - \rho_р h + \rho_ж h$$ $$h(\rho_р - \rho_ж) = a(\rho_р - \rho_м)$$ $$h = a \frac{\rho_р - \rho_м}{\rho_р - \rho_ж}$$ $$h = 0.2 \cdot \frac{13600 - 2700}{13600 - 1030} = 0.2 \cdot \frac{10900}{12570} \approx 0.2 \cdot 0.867 \approx 0.1734 \ м$$ $$h \approx 17.34 \ см$$ 6. Округлим до десятых: $$h \approx 17.3 \ см$$ Ответ: Высота столба налитой жидкости равна 17.3 см. Разъяснение для ученика: Представьте, что у вас есть кубик, который плавает в ртути. Чтобы он плавал, вес кубика должен уравновешиваться выталкивающей силой (силой Архимеда) от ртути. Когда мы наливаем сверху жидкость, часть кубика погружается в эту жидкость, и появляется дополнительная выталкивающая сила. Наша задача - найти, насколько высоко нужно налить жидкость, чтобы верхний уровень жидкости совпадал с верхней гранью кубика. Для этого мы записываем уравнение, в котором вес кубика равен сумме выталкивающих сил от ртути и жидкости, и решаем это уравнение относительно высоты столба жидкости.