9. Металлический цилиндр подвесили на пружине и полностью погрузили в воду. При этом растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза. Рассчитайте плотность металла.

Решение: 1. Когда цилиндр подвешен на пружине в воздухе, на него действует сила тяжести (P = mg), где (m) - масса цилиндра, (g) - ускорение свободного падения. Растяжение пружины пропорционально силе тяжести: (P = kx), где (k) - жёсткость пружины, (x) - растяжение пружины в воздухе. 2. Когда цилиндр погружён в воду, на него дополнительно действует сила Архимеда, направленная вверх. Растяжение пружины уменьшается: \[F_{\text{упр}} = P - F_\text{A}\] Где (F_{\text{упр}}) - новая сила упругости, (F_\text{A}) - сила Архимеда. 3. Растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза, значит: \[x' = \frac{x}{1.5}\] Где (x') - растяжение пружины в воде. 4. Тогда новая сила упругости: \[F_{\text{упр}} = kx' = k\frac{x}{1.5} = \frac{kx}{1.5} = \frac{P}{1.5}\] 5. Сила Архимеда: \[F_\text{A} = P - F_{\text{упр}} = P - \frac{P}{1.5} = \frac{0.5P}{1.5} = \frac{P}{3}\] 6. Сила Архимеда также выражается как: \[F_\text{A} = \rho_\text{воды} \cdot V \cdot g\] Где (V) - объём цилиндра, равный объёму вытесненной воды. 7. Вес цилиндра: \[P = mg = \rho_\text{металла} \cdot V \cdot g\] Где \(\rho_\text{металла}\) - плотность металла. 8. Подставим выражения для силы Архимеда и веса в уравнение (F_\text{A} = \frac{P}{3}): \[\rho_\text{воды} \cdot V \cdot g = \frac{\rho_\text{металла} \cdot V \cdot g}{3}\] 9. Сократим (V) и (g): \[\rho_\text{воды} = \frac{\rho_\text{металла}}{3}\] 10. Выразим плотность металла: \[\rho_\text{металла} = 3 \cdot \rho_\text{воды} = 3 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 = 3000 \text{ кг/м}^3\] Ответ: Плотность металла равна 3000 кг/м³.