§ 6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ Решите систему уравнений методом подстановки: 06.1. a) \(\{\begin{array}{c}y = x-1,\ x^2 - 2y = 26;\end{array}\}\) в) \(\{\begin{array}{c}x = y + 3,\ y^2 - 2x = 9;\end{array}\}\) б) \(\{\begin{array}{c}x = y^2,\ x + y = 6;\end{array}\}\) г) \(\{\begin{array}{c}y = x^2,\ x - y = -6.\end{array}\}\) 06.2. a) \(\{\begin{array}{c}xy = -2,\ x + y = 1;\end{array}\}\) в) \(\{\begin{array}{c}x + 3y = 11,\ 2x + y^2 = 14;\end{array}\}\) б) \(\{\begin{array}{c}5x^2 + 2y = -3,\ x - y = 5;\end{array}\}\) г) \(\{\begin{array}{c}x + y = 8,\ xy = 12.\end{array}\}\) 06.3. a) \(\{\begin{array}{c}y^2 - xy = 12,\ 3y - x = 10;\end{array}\}\) в) \(\{\begin{array}{c}2x^2 - xy = 33,\ 4x - y = 17;\end{array}\}\) б) \(\{\begin{array}{c}2x^2 - y^2 = 32,\ 2x - y = 8;\end{array}\}\) г) \(\{\begin{array}{c}x^2 - y^2 = 24,\ 2y - x = -7.\end{array}\}\) 06.4. a) \(\{\begin{array}{c}x^2 + xy - y^2 = 11,\ x - 2y = 1;\end{array}\}\) в) \(\{\begin{array}{c}x^2 + xy - x - y = 2,\ x - y = 2;\end{array}\}\) б) \(\{\begin{array}{c}xy + y^2 + x - 3y = 15,\ x + y = 5;\end{array}\}\) г) \(\{\begin{array}{c}x^2 + y^2 + 3xy = -1,\ x + 2y = 0.\end{array}\}\)

Решения систем уравнений методом подстановки:

06.1.
a) \(\{\begin{array}{c}y = x-1,\ x^2 - 2y = 26;\end{array}\}\)
Подставляем y = x - 1 во второе уравнение: x² - 2(x - 1) = 26
x² - 2x + 2 = 26
x² - 2x - 24 = 0
D = (-2)² - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100
x₁ = (2 + 10) / 2 = 6, y₁ = 6 - 1 = 5
x₂ = (2 - 10) / 2 = -4, y₂ = -4 - 1 = -5
Ответ: (6, 5), (-4, -5)

в) \(\{\begin{array}{c}x = y + 3,\ y^2 - 2x = 9;\end{array}\}\)
Подставляем x = y + 3 во второе уравнение: y² - 2(y + 3) = 9
y² - 2y - 6 = 9
y² - 2y - 15 = 0
D = (-2)² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64
y₁ = (2 + 8) / 2 = 5, x₁ = 5 + 3 = 8
y₂ = (2 - 8) / 2 = -3, x₂ = -3 + 3 = 0
Ответ: (8, 5), (0, -3)

б) \(\{\begin{array}{c}x = y^2,\ x + y = 6;\end{array}\}\)
Подставляем x = y² во второе уравнение: y² + y = 6
y² + y - 6 = 0
D = 1² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25
y₁ = (-1 + 5) / 2 = 2, x₁ = 2² = 4
y₂ = (-1 - 5) / 2 = -3, x₂ = (-3)² = 9
Ответ: (4, 2), (9, -3)

г) \(\{\begin{array}{c}y = x^2,\ x - y = -6.\end{array}\}\)
Подставляем y = x² во второе уравнение: x - x² = -6
x² - x - 6 = 0
D = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25
x₁ = (1 + 5) / 2 = 3, y₁ = 3² = 9
x₂ = (1 - 5) / 2 = -2, y₂ = (-2)² = 4
Ответ: (3, 9), (-2, 4)

06.2.
a) \(\{\begin{array}{c}xy = -2,\ x + y = 1;\end{array}\}\)
Из второго уравнения y = 1 - x. Подставляем в первое: x(1 - x) = -2
x - x² = -2
x² - x - 2 = 0
D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
x₁ = (1 + 3) / 2 = 2, y₁ = 1 - 2 = -1
x₂ = (1 - 3) / 2 = -1, y₂ = 1 - (-1) = 2
Ответ: (2, -1), (-1, 2)

в) \(\{\begin{array}{c}x + 3y = 11,\ 2x + y^2 = 14;\end{array}\}\)
Из первого уравнения x = 11 - 3y. Подставляем во второе: 2(11 - 3y) + y² = 14
22 - 6y + y² = 14
y² - 6y + 8 = 0
D = (-6)² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4
y₁ = (6 + 2) / 2 = 4, x₁ = 11 - 3 * 4 = -1
y₂ = (6 - 2) / 2 = 2, x₂ = 11 - 3 * 2 = 5
Ответ: (-1, 4), (5, 2)

б) \(\{\begin{array}{c}5x^2 + 2y = -3,\ x - y = 5;\end{array}\}\)
Из второго уравнения y = x - 5. Подставляем в первое: 5x² + 2(x - 5) = -3
5x² + 2x - 10 = -3
5x² + 2x - 7 = 0
D = 2² - 4 * 5 * (-7) = 4 + 140 = 144
x₁ = (-2 + 12) / 10 = 1, y₁ = 1 - 5 = -4
x₂ = (-2 - 12) / 10 = -1.4, y₂ = -1.4 - 5 = -6.4
Ответ: (1, -4), (-1.4, -6.4)

г) \(\{\begin{array}{c}x + y = 8,\ xy = 12.\end{array}\}\)
Из первого уравнения y = 8 - x. Подставляем во второе: x(8 - x) = 12
8x - x² = 12
x² - 8x + 12 = 0
D = (-8)² - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
x₁ = (8 + 4) / 2 = 6, y₁ = 8 - 6 = 2
x₂ = (8 - 4) / 2 = 2, y₂ = 8 - 2 = 6
Ответ: (6, 2), (2, 6)

06.3.
a) \(\{\begin{array}{c}y^2 - xy = 12,\ 3y - x = 10;\end{array}\}\)
Из второго уравнения x = 3y - 10. Подставляем в первое: y² - (3y - 10)y = 12
y² - 3y² + 10y = 12
-2y² + 10y - 12 = 0
y² - 5y + 6 = 0
D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
y₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₁ = 3 * 3 - 10 = -1
y₂ = (5 - 1) / 2 = 2, x₂ = 3 * 2 - 10 = -4
Ответ: (-1, 3), (-4, 2)

в) \(\{\begin{array}{c}2x^2 - xy = 33,\ 4x - y = 17;\end{array}\}\)
Из второго уравнения y = 4x - 17. Подставляем в первое: 2x² - x(4x - 17) = 33
2x² - 4x² + 17x = 33
-2x² + 17x - 33 = 0
2x² - 17x + 33 = 0
D = (-17)² - 4 * 2 * 33 = 289 - 264 = 25
x₁ = (17 + 5) / 4 = 5.5, y₁ = 4 * 5.5 - 17 = 5
x₂ = (17 - 5) / 4 = 3, y₂ = 4 * 3 - 17 = -5
Ответ: (5.5, 5), (3, -5)

б) \(\{\begin{array}{c}2x^2 - y^2 = 32,\ 2x - y = 8;\end{array}\}\)
Из второго уравнения y = 2x - 8. Подставляем в первое: 2x² - (2x - 8)² = 32
2x² - (4x² - 32x + 64) = 32
2x² - 4x² + 32x - 64 = 32
-2x² + 32x - 96 = 0
x² - 16x + 48 = 0
D = (-16)² - 4 * 1 * 48 = 256 - 192 = 64
x₁ = (16 + 8) / 2 = 12, y₁ = 2 * 12 - 8 = 16
x₂ = (16 - 8) / 2 = 4, y₂ = 2 * 4 - 8 = 0
Ответ: (12, 16), (4, 0)

г) \(\{\begin{array}{c}x^2 - y^2 = 24,\ 2y - x = -7.\end{array}\}\)
Из второго уравнения x = 2y + 7. Подставляем в первое: (2y + 7)² - y² = 24
4y² + 28y + 49 - y² = 24
3y² + 28y + 25 = 0
D = 28² - 4 * 3 * 25 = 784 - 300 = 484
y₁ = (-28 + 22) / 6 = -1, x₁ = 2 * (-1) + 7 = 5
y₂ = (-28 - 22) / 6 = -8.33, x₂ = 2*(-8.33)+7 = -9.66
Ответ: (5, -1), (-25/3, -50/6)

06.4.
a) \(\{\begin{array}{c}x^2 + xy - y^2 = 11,\ x - 2y = 1;\end{array}\}\)
Из второго уравнения x = 2y + 1. Подставляем в первое: (2y + 1)² + (2y + 1)y - y² = 11
4y² + 4y + 1 + 2y² + y - y² = 11
5y² + 5y - 10 = 0
y² + y - 2 = 0
D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
y₁ = (-1 + 3) / 2 = 1, x₁ = 2 * 1 + 1 = 3
y₂ = (-1 - 3) / 2 = -2, x₂ = 2 * (-2) + 1 = -3
Ответ: (3, 1), (-3, -2)

в) \(\{\begin{array}{c}x^2 + xy - x - y = 2,\ x - y = 2;\end{array}\}\)
Из второго уравнения x = y + 2. Подставляем в первое: (y + 2)² + (y + 2)y - (y + 2) - y = 2
y² + 4y + 4 + y² + 2y - y - 2 - y = 2
2y² + 4y = 0
y(2y + 4) = 0
y₁ = 0, x₁ = 0 + 2 = 2
y₂ = -2, x₂ = -2 + 2 = 0
Ответ: (2, 0), (0, -2)

б) \(\{\begin{array}{c}xy + y^2 + x - 3y = 15,\ x + y = 5;\end{array}\}\)
Из второго уравнения x = 5 - y. Подставляем в первое: (5 - y)y + y² + (5 - y) - 3y = 15
5y - y² + y² + 5 - y - 3y = 15
y = 10 - 15
y = 5/2, x = 5 - 5 = 0

ответ не соответсвует, скорее всего опечатка в задании
г) \(\{\begin{array}{c}x^2 + y^2 + 3xy = -1,\ x + 2y = 0.\end{array}\}\)
Из второго уравнения x = -2y. Подставляем в первое: (-2y)² + y² + 3(-2y)y = -1
4y² + y² - 6y² = -1
-y² = -1
y² = 1
y₁ = 1, x₁ = -2 * 1 = -2
y₂ = -1, x₂ = -2 * (-1) = 2
Ответ: (-2, 1), (2, -1)