Методы решения тригонометрических уравнений. Примеры. 1) sin 2x = 1/2

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \sin 2x = \frac{1}{2} \), воспользуемся основным свойством синуса.

1. Найдем значения аргумента \( 2x \), для которых синус равен \( \frac{1}{2} \). Эти значения соответствуют углам \( \frac{\pi}{6} \) и \( \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).
2. Учитывая периодичность функции \( \sin \alpha \) с периодом \( 2\pi \), запишем общие решения для \( 2x \):
   \( 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
   \( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
3. Разделим оба уравнения на 2, чтобы найти \( x \):
   \( x = \frac{\pi}{12} + \pi n \), где \( n \) — целое число.
   \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Можно также записать решение в виде одной формулы, используя \( (-1)^m \):

\( 2x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi m \)
\( 2x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m \)
\( x = (-1)^m \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2} \), где \( m \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{12} + \pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.