Между населёнными пунктами А, В, С, D, E, F построены дороги, протяжённость которых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет.) Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и F (при условии, что передвигаться можно только по построенным дорогам).

Решение:

Для нахождения кратчайшего пути между пунктами А и F воспользуемся методом поиска кратчайшего пути, например, алгоритмом Дейкстры.

Таблица расстояний:

Шаги алгоритма:

1. Начинаем с пункта А. Расстояния до других пунктов: A → A (0), A → B (4), A → C (10), A → F (14).
2. Переходим к пункту B, так как он имеет наименьшее расстояние от А (4). Из B можно попасть в C. Путь A → B → C будет иметь длину 4 + 7 = 11. Сравниваем с текущим расстоянием до C (10). Путь через B длиннее, оставляем 10.
3. Переходим к пункту C, расстояние до которого 10. Из C можно попасть в D (10 + 1 = 11) и E (10 + 4 = 14).
4. Переходим к пункту D, расстояние до которого 11. Из D можно попасть в E. Путь A → C → D → E будет иметь длину 11 + 1 = 12. Сравниваем с текущим расстоянием до E (14). Путь через D короче, обновляем расстояние до E: 12.
5. Переходим к пункту E, расстояние до которого 12. Из E можно попасть в F. Путь A → C → D → E → F будет иметь длину 12 + 5 = 17. Сравниваем с текущим расстоянием до F (14). Путь через E длиннее, оставляем 14.
6. Также рассмотрим путь A → F напрямую, длина 14.
7. Рассмотрим путь A → B → C → E → F: 4 + 7 + 4 + 5 = 20 (длиннее).
8. Рассмотрим путь A → B → C → D → E → F: 4 + 7 + 1 + 1 + 5 = 18 (длиннее).
9. Рассмотрим путь A → C → D → E → F: 10 + 1 + 1 + 5 = 17 (длиннее).
10. Рассмотрим путь A → C → E → F: 10 + 4 + 5 = 19 (длиннее).
11. Рассмотрим путь A → F: 14.
12. Рассмотрим путь A → C → D → F (нет прямого пути).
13. Путь A → B → C → F (нет прямого пути).
14. Кратчайший путь: A → F, длина 14.
15. Альтернативный путь A → C → D → E → F: 10 + 1 + 1 + 5 = 17.
16. Путь A → B → C → D → E → F: 4 + 7 + 1 + 1 + 5 = 18.
17. Путь A → C → E → F: 10 + 4 + 5 = 19.
18. Путь A → B → C → E → F: 4 + 7 + 4 + 5 = 20.
19. Среди всех возможных путей, кратчайшим является прямой путь A → F с длиной 14.

Ответ: 14