Междугородный автобус проехал путь из одного города в другой за 18 часов. Некоторое время он ехал со скоростью 45 км/ч, а остальную часть пути — со скоростью 60 км/ч. Определите, сколько часов он ехал со скоростью 45 км/ч и сколько — со скоростью 60 км/ч, если его средняя скорость составила 53 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \(t_1\) — время в пути со скоростью 45 км/ч.
• \(t_2\) — время в пути со скоростью 60 км/ч.
• \(v_1 = 45\) км/ч
• \(v_2 = 60\) км/ч
• \(v_{avg} = 53\) км/ч
• Общее время в пути \(T = 18\) часов.

Общее время в пути равно сумме времени на каждом участке:

\[ t_1 + t_2 = 18 \]

Общее расстояние равно сумме расстояний на каждом участке:

\[ S = S_1 + S_2 = v_1 t_1 + v_2 t_2 \]

Средняя скорость вычисляется как общее расстояние, делённое на общее время:

\[ v_{avg} = \frac{S}{T} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2}{t_1 + t_2} \]

Подставим известные значения:

\[ 53 = \frac{45 t_1 + 60 t_2}{18} \]

Из первого уравнения выразим \(t_2\):

\[ t_2 = 18 - t_1 \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 53 = \frac{45 t_1 + 60 (18 - t_1)}{18} \]

Умножим обе части на 18:

\[ 53 \cdot 18 = 45 t_1 + 60 (18 - t_1) \] \[ 954 = 45 t_1 + 1080 - 60 t_1 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 954 - 1080 = 45 t_1 - 60 t_1 \] \[ -126 = -15 t_1 \]

Разделим обе части на -15:

\[ t_1 = \frac{-126}{-15} = 8.4 \]

Теперь найдём \(t_2\):

\[ t_2 = 18 - t_1 = 18 - 8.4 = 9.6 \]

Проверим результат:

\[ v_{avg} = \frac{45 \cdot 8.4 + 60 \cdot 9.6}{18} = \frac{378 + 576}{18} = \frac{954}{18} = 53 \]

Всё верно.

Ответ: Автобус ехал 8.4 часа со скоростью 45 км/ч и 9.6 часа со скоростью 60 км/ч.