1. МиN – середины сторон АС и СВ треугольника АВС. Найдите величину АВ и ∠В, если MN = 8 см, ∠CNM= 46°. 2. ABCD – параллелограмм с периметром 28 см, О – точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки О до середины CD, если расстояние от точки О до середины ВС равно 3 см. 3. В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ = BC = 10 см, АС = 16 см.

Question

Вопрос:

1. МиN – середины сторон АС и СВ треугольника АВС. Найдите величину АВ и ∠В, если MN = 8 см, ∠CNM= 46°. 2. ABCD – параллелограмм с периметром 28 см, О – точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки О до середины CD, если расстояние от точки О до середины ВС равно 3 см. 3. В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ = BC = 10 см, АС = 16 см.

Ответ:

Accepted Answer

Привет! Давай решим эти задачи вместе. Не переживай, у нас всё получится!

1. Найдём величину AB и ∠B.

Поскольку M и N – середины сторон AC и CB соответственно, MN является средней линией треугольника ABC. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

MN || AB
MN = 1/2 * AB
AB = 2 * MN = 2 * 8 = 16 см

∠CNM = ∠CAB = 46° (как соответственные углы при параллельных прямых MN и AB и секущей AC). Так как ∠CNM = 46°, то и ∠CAB = 46°.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

∠C = 180° - ∠A - ∠B

Так как MN || AB, то ∠CNM = ∠CAB = 46°.

∠C = ∠C, ∠CNM = ∠CAB

Следовательно, треугольники ABC и MNC подобны по двум углам.

∠B = ∠MNC

∠MNC = 180° - ∠CNM - ∠ANM

Т.к. ∠CNM = 46°, то ∠CAB = 46°

В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

Т.к. MN - средняя линия, то ΔMNC подобен ΔABC с коэффициентом подобия 1/2.

Тогда ∠NMC = ∠ABC , ∠MNC = ∠BAC = 46°

Сумма углов треугольника ΔMNC равна 180°, значит ∠C = 180° −∠NMC −∠MNC

Предположим, что ∠C = 88°, тогда

∠B = 180° - 46° - 88° = 46°

Ответ: AB = 16 см, ∠B = 46°

2. Найдём расстояние от точки О до середины CD.

Пусть K – середина CD, L – середина BC. OK и OL – расстояния от точки O до середин CD и BC соответственно.

Периметр параллелограмма ABCD равен 28 см, значит, AB + BC = 14 см.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD.

OK – средняя линия треугольника BCD, OL – средняя линия треугольника ACD.

OK = BC/2, OL = AD/2

Т.к. OL = 3 см, то AD = 2 * OL = 2 * 3 = 6 см

AB = 14 - BC = 14 - 6 = 8 см

OK = BC/2 = 6/2 = 3 см

Ответ: Расстояние от точки O до середины CD равно 3 см.

3. Найдём расстояние от точки О до вершины А.

В равнобедренном треугольнике ABC медианы, проведенные к равным сторонам, равны. Пусть медиана BD проведена к стороне AC, а медиана AE проведена к стороне BC. Точка O – точка пересечения медиан, и она делит каждую медиану в отношении 2:1, начиная от вершины.

AO = 2/3 * AE

Найдём длину медианы AE. Рассмотрим треугольник ABE. BE = BC/2 = 10/2 = 5 см.

AE = \(\sqrt{AB^2 - BE^2}\) = \(\sqrt{10^2 - 5^2}\) = \(\sqrt{100 - 25}\) = \(\sqrt{75}\) = 5\(\sqrt{3}\)

AO = 2/3 * 5\(\sqrt{3}\) = 10/3 * \(\sqrt{3}\) см

Ответ: Расстояние от точки O до вершины A равно \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) см.

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!