Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями радиусов \(R_1 < R_2 < ... < R_{10}\). Событие \(A_k\) означает попадание в круг радиуса \(R_k\). Что означают события \(B = A_1 \cup A_3 \cup A_6\), \(C = A_2 A_4 A_6 A_8\), \(D = (A_1 \cup A_3) \cdot A_6\)? Выберите один ответ:

Решение:

Разберем каждое событие:

Событие \(B = A_1 \cup A_3 \cup A_6\)

• \(A_k\) - попадание в круг радиуса \(R_k\).
• \(A_1\) - попадание в круг радиуса \(R_1\) (самый маленький круг).
• \(A_3\) - попадание в круг радиуса \(R_3\).
• \(A_6\) - попадание в круг радиуса \(R_6\).
• Знак \(\cup\) означает объединение событий (или попадание в любой из этих кругов).
• Поскольку \(R_1 < R_3 < R_6\), попадание в круг \(A_1\) автоматически означает попадание в \(A_3\) и \(A_6\). Попадание в \(A_3\) означает попадание в \(A_6\).
• Следовательно, \(A_1 \cup A_3 \cup A_6\) означает попадание в самый большой из указанных кругов, то есть в круг радиуса \(R_6\). Таким образом, \(B = A_6\).

Событие \(C = A_2 A_4 A_6 A_8\)

• Точка между событиями означает их пересечение (одновременное наступление).
• \(A_2\) - попадание в круг радиуса \(R_2\).
• \(A_4\) - попадание в круг радиуса \(R_4\).
• \(A_6\) - попадание в круг радиуса \(R_6\).
• \(A_8\) - попадание в круг радиуса \(R_8\).
• Поскольку \(R_2 < R_4 < R_6 < R_8\), чтобы попасть в круг \(A_8\), нужно попасть во все предыдущие круги \(A_2, A_4, A_6\).
• Следовательно, пересечение \(A_2 \cap A_4 \cap A_6 \cap A_8\) эквивалентно попаданию в самый маленький из этих кругов, то есть в круг радиуса \(R_2\). Таким образом, \(C = A_2\).

Событие \(D = (A_1 \cup A_3) \cdot A_6\)

• \(A_1 \cup A_3\) означает попадание в круг радиуса \(R_3\) (как мы выяснили ранее, \(A_1 \cup A_3 = A_3\) если \(R_1 < R_3\)).
• \((A_1 \cup A_3) \cdot A_6\) означает попадание в круг \(A_3\) И в круг \(A_6\).
• Поскольку \(R_3 < R_6\), попадание в круг \(A_6\) означает попадание во все круги с меньшим радиусом, включая \(A_3\).
• Следовательно, \((A_1 \cup A_3) \cap A_6 = A_6\).
• Однако, в задании указан знак умножения \(\cdot\), который чаще всего используется для обозначения пересечения в теории вероятностей. Если предположить, что \((A_1 \cup A_3)\) является одним событием, и \(A_6\) является другим, их пересечение \( (A_1 igcup A_3) igcap A_6 \) будет \( A_6 \).
• В вариантах ответа есть \(D = A_3\), что было бы верным, если бы \(A_6\) не было.
• Если предположить, что \(A_1 \cup A_3 \cup A_6\) = \(A_6\), и \( (A_1 igcup A_3) igcap A_6 \) = \(A_6\), то \(D\) должно быть \(A_6\).
• Давайте пересмотрим \(A_1 \cup A_3\). Это попадание либо в самый маленький круг, либо в круг с радиусом \(R_3\).
• \(D = (A_1 igcup A_3) igcap A_6\). Если мы попали в \(A_6\), то мы автоматически попали в \(A_3\) и \(A_1\). Поэтому \( (A_1 igcup A_3) igcap A_6 = A_6 \).
• Возможно, в условии имелось в виду \(D = A_1 igcup (A_3 igcap A_6)\) или что-то подобное. Но по условию \(D = (A_1 igcup A_3) igcap A_6\).
• Если \(A_1 \cup A_3\) это попадание в круг \(R_3\) (т.к. \(R_1 < R_3\)), тогда \(D = A_3 \cap A_6\). Так как \(R_3 < R_6\), то \(A_3 \cap A_6 = A_3\).
• Следовательно, \(B = A_6\), \(C = A_2\), \(D = A_3\).

Проверим варианты ответов:

• b. \(B = A_6, C = A_2, D = A_3\) — это соответствует нашим расчетам.

Ответ: b. \(B = A_6, C = A_2, D = A_3\)